Корни полиномов

[Mirmik]

Товарищи.
Есть полиномы $A(x)$ и $B(x)$. Есть ли какая-то общая теория о том, как зависят корни полинома $C(x) = A(x) + B(x)$, от корней полиномов $A(x)$, $B(x)$.
Какой раздел математики этим занимается?

[kotenok gav]

Ну, есть разве что теорема (очевидная), что если $D(x)\mid A(x)$ и $D(x)\mid B(x)$, то $D(x)\mid C(x)$.

[Mirmik]

Неужели никто не занимался этим вопросом. Может быть есть теория о том, как корни зависят от коэффициентов?

[kotenok gav]

Конечно есть. Назыввается "решение полиномиальных уравнений".

[Mirmik]

А о том, как корни корни зависят от малых изменений коэффициентов :) ?

[kotenok gav]

А такой нет.

[Xaositect]

Да нет, это как раз несложно посчитать по теореме о неявной функции.

[arseniiv]

Добавлю опять банальность, но когда стоит задача для произвольного $N$ (здесь наибольшей степени многочленов), есть часто смысл прикинуть, что с ней выходит для небольших $N$.

$N = 0$. Тут возможны все комбинации, имеет ли каждый из $A, B, C$ бесконечное количество корней или не имеет, и зависимость простая: $C = 0 \Longlefrrightarrow A = -B$. Будем дальше вырожденные случаи опускать.

$N = 1$. Допустим, $\operatorname{deg} A = 1$, а $B$ не обязательно. Пусть $A = a_1x + a_0$, $B = b_1x + b_0$. Корень $C$, $x_c = -\frac{a_0 + b_0}{a_1 + b_1}$, не выражается через только $x_a = -\frac{a_0}{a_1}$ и $x_b = -\frac{b_0}{b_1}$: если домножить $A, B$ на разные числа, $x_a, x_b$ останутся такими же как были, но $x_c$ изменится. Более того, если $x_a\ne x_b$, $\alpha A + \beta B$ вообще дают нам любой линейный многочлен.

И не успели мы дойти до $N = 2$ как получили общий и пессимистичный результат: восстановить корни суммы по одним только корням слагаемых нельзя, потому что можно получить много разных многочленов, беря исходные слагаемые с другими весами (от чего их корни никак не поменяются), которые не будут кратными друг другу в общем случае; и кроме того нетрудно иметь ситуацию, когда мы можем получить вообще любой многочлен (но тут для общего случая придётся попыхтеть с доказательством; а меня и текущий слабый результат удовлетворяет).

P. S. То есть понятно, что велосипеды строить не нужно, но нырнуть в поисках дна всегда стоит. Вот тут оно оказалось (для исходной формулировки про корни, а не про коэффициенты) неожиданно близко, а вместо этого ждать какую-то несуществующую литературу было бы плохой стратегией.

[Someone]

Mirmik в сообщении #1462081 писал(а):

Есть ли какая-то общая теория о том, как зависят корни полинома $C(x) = A(x) + B(x)$, от корней полиномов $A(x)$, $B(x)$.

Известно, что небольшое изменение коэффициентов многочлена достаточно высокой степени может привести к сильному изменению корней многочлена.
Вот, например, что происходит с корнями многочлена $P(x)=\prod\limits_{k=1}^{20}(x-k)$:
https://dxdy.ru/download/file.php?mode=view&id=1617

[Евгений Машеров]

Mirmik в сообщении #1462101 писал(а):

Неужели никто не занимался этим вопросом. Может быть есть теория о том, как корни зависят от коэффициентов?

Это предмет теории возмущений. Вот, скажем, Найфэ А., Введение в методы возмущений. Но там про алгебраические уравнения немного.

-- 12 май 2020, 22:10 --

А вот популярная статья.
http://www.pereplet.ru/nauka/Soros/pdf/9911_117.pdf

[zcorvid]

Есть одна теорема, относящаяся к данному вопросу, это abc-гипотеза для полиномов: Теорема Мэйсона — Стотерса

[demolishka]

Mirmik в сообщении #1462101 писал(а):

теория о том, как корни зависят от коэффициентов

Если степень многочлена при возмущении не поднимается (т. е. рассматриваем возмущение многочлена $n$-ой степени многочленом не выше $n$-ой степени), то функция корней многочлена полунепрерывна сверху (корни возмущенного многочлена лежат в малой окрестности корней исходного). Это простое упражнение. Если при этом корни простые, то зависимость корней гладкая - это следствие теоремы о дифференцируемости обратного отображения + формул Виета.

В общем случае что-то про число корней в областях комплексной плоскости можно вывести из теоремы Руше.