Диофантово уравнение 2-ой степени

[glafira krinner]

Здравствуйте. Подскажите, пожалуйста, пути решения диофантового уравнения второй степени относительно $m$:
$m^2+2(3k-t-1)m+(k^2+2kt+4k)=0.$

[nnosipov]

Задача четко не сформулирована. В уравнении мы видим три буквы $m$, $k$, $t$. Какие из них следует считать неизвестными, а какие --- параметрами? Каковы области изменения неизвестных и параметров? Наконец, что значит "решить уравнение", если оно содержит не только неизвестные, но и параметры? Все это нужно прояснить.

[dmd]

$m^2+2(3k-t-1)m+(k^2+2kt+4k)=0\implies\\\\ (t - 4 k + 1)^2 - (m - t + 3 k - 1)^2 = 2 k (1 + 4 k)$

Перебирая $k$ как параметр, можно решать разности квадратов.

(некоторые решения (k,m,t))

(2, -16, -3)
(2, 0, -3)
(2, -4, 1)
(2, 8, 13)
(2, 4, 17)
(2, 20, 17)
(4, -64, -20)
(4, 2, -20)
(4, -30, -4)
(4, 0, -4)
(4, 8, 34)
(4, 38, 34)
(4, 6, 50)
(4, 72, 50)
(6, -144, -53)
(6, 4, -53)
(6, -44, -5)
(6, 0, -5)
(6, -24, 3)
(6, -4, 3)
(6, 16, 43)
(6, 36, 43)
(6, 12, 51)
(6, 56, 51)
(6, 8, 99)
(6, 156, 99)
(8, -256, -102)
(8, 6, -102)
(8, -124, -37)
(8, 4, -37)
(8, -80, -16)
(8, 2, -16)
(8, -58, -6)
(8, 0, -6)
(8, -36, 3)
(8, -4, 3)
(8, -16, 8)
(8, -14, 8)
(8, 30, 54)
(8, 32, 54)
(8, 20, 59)
(8, 52, 59)
(8, 16, 68)
(8, 74, 68)
(8, 14, 78)
(8, 96, 78)
(8, 12, 99)
(8, 140, 99)
(8, 10, 164)
(8, 272, 164)
(10, -400, -167)
(10, 8, -167)
(10, -72, -7)
(10, 0, -7)
(10, 20, 85)
(10, 92, 85)
(10, 12, 245)
(10, 420, 245)

[glafira krinner]

nnosipov в сообщении #1462071 писал(а):

Задача четко не сформулирована. В уравнении мы видим три буквы $m$, $k$, $t$. Какие из них следует считать неизвестными, а какие --- параметрами? Каковы области изменения неизвестных и параметров? Наконец, что значит "решить уравнение", если оно содержит не только неизвестные, но и параметры? Все это нужно прояснить.

Я написала, относительно $m.$ Значит, $k, t $параметры. Я написала: уравнение Диофанта. Значит, речь идет о целых числах. Спасибо.

-- 12.05.2020, 20:14 --

dmd в сообщении #1462095 писал(а):

$m^2+2(3k-t-1)m+(k^2+2kt+4k)=0\implies\\\\
(t - 4 k + 1)^2 - (m - t + 3 k - 1)^2 = 2 k (1 + 4 k)$

Перебирая $k$ как параметр, можно решать разности квадратов.

Спасибо. Поняла. Только в правой части не 1, а 5. Кто автор этого подхода, интересно?

[nnosipov]

glafira krinner в сообщении #1462103 писал(а):

Я написала, относительно $m.$ Значит, $k, t $параметры. Я написала: уравнение Диофанта. Значит, речь идет о целых числах.

В таком случае все просто: пишем дискриминант $D=D(k,t)$ уравнения относительно неизвестного $m$; выясняем, является ли $D(k,t)$ точным квадратом (для данных значений параметров $k$ и $t$), и если да, то находим два (в общем случае) целых значения неизвестного $m$. Иначе (т.е. если $D(k,t)$ не является точным квадратом) уравнение неразрешимо. Это обычная процедура решения квадратного уравнения с одним неизвестным, но в целых числах. Только это не диофантово уравнение (этот термин обычно подразумевает более одного неизвестного).

[glafira krinner]

nnosipov в сообщении #1462115 писал(а):

Только это не диофантово уравнение (этот термин обычно подразумевает более одного неизвестного).

Спасибо за замечание. Тут три неизвестных.

[Gagarin1968]

glafira krinner в сообщении #1462128 писал(а):

Тут три неизвестных.

Неизвестное здесь одно - $m$.
Это же Ваша ремарка?

glafira krinner в сообщении #1462103 писал(а):

Я написала, относительно $m.$ Значит, $k, t $параметры.