является ли пространство линейным?

[granit201z]

Такая задача:

Цитата:

какие из следующих пространств являются линейными над полем комплексных чисел?
-всех функций, таких, что $f(1)=0$?
-всех функций, таких, что $f(1)=1$?

В решебнике дан следующий ответ:

Цитата:

Да. Нет. В первом случае нулевой элемент - это функция $f(x) \equiv 0$. Множество функций, таких, что $f(1)=1$, этого элемента не содержит.

Почему в первом то случае ответ "Да"?
Ведь в задаче под вектором подразумевается действительная функция действительной переменной насколько я понимаю из условия, а под полем чисел - комплексные числа. Ну а произведение такого вектора на такое число уже не будет лежать в множестве таких векторов. Разве нет?

[mihaild]

granit201z в сообщении #1462060 писал(а):

в задаче под вектором подразумевается действительная функция действительной переменной насколько я понимаю из условия

Очень странное определение, можете точно его сформулировать?.
Линейное пространство над полем комплексных чисел - множество, для которого заданы нужные операции (знаете, какие?) и выполняются нужные свойства (знаете, какие?). Соответственно вам нужно "естественным" образом определить эти операции и проверить свойства.

[granit201z]

mihaild в сообщении #1462062 писал(а):

множество, для которого заданы нужные операции (знаете, какие?)

1) сложение двух векторов. результатом должен быть тоже вектор. ну то есть сущность той же природы, которая у тех, что складываются. причем единственный для каждой пары векторов
2) умножение вектора на число. результатом тоже должен быть вектор. причем единственный для каждой пары число-вектор.

mihaild в сообщении #1462062 писал(а):

и выполняются нужные свойства (знаете, какие?)

ну да. их там 8 в учебнике приведено.
Но при проверке я до свойств даже не дошел, поскольку решил (возможно, что я чего-то, конечно, не так думаю), что оба множества не удовлетворяют второй операции - "умножение вектора на число". А функции у которых $f(1)=1$ не удовлетворяют даже и первой операции, т.к. сумма любых двух таких функций не будет функцией у которой $f(1)=1$, т.е. будет уже сущностью другой природы.
А в решебнике почему-то про это ни слова

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[mihaild]

granit201z в сообщении #1462072 писал(а):

оба множества не удовлетворяют второй операции - "умножение вектора на число"

Что в данным случаем является вектором, и что является числом?

[granit201z]

mihaild в сообщении #1462062 писал(а):

Очень странное определение, можете точно его сформулировать?.

ну я подразумевал под этим такие функции, у которых область определения - множество действительных чисел, и область значений тоже множество действительных чисел

-- 12.05.2020, 16:09 --

mihaild в сообщении #1462082 писал(а):

granit201z в сообщении #1462072 писал(а):

оба множества не удовлетворяют второй операции - "умножение вектора на число"

Что в данным случаем является вектором, и что является числом?

ну в первом случае вектором является любая функция, лишь бы у нее было $f(1)=0$, а во втором случае вектором является любая функция, лишь бы у нее было $f(1)=1$. в обоих случаях числом является любое комплексное число

[mihaild]

Тут скорее всего подразумеваются функции $\mathbb C \to \mathbb C$. Хотя конечно формулировка "все функции" без уточнения домена и кодомена плохая.

[arseniiv]

granit201z
А подпространства уже ввели? А то проще сначала доказать, что все функции $\mathbb C\to \mathbb C$ образуют векторное пространство (где $(f + g)(x) = f(x) + g(x)$ и $(c\cdot f)(x) = c\cdot f(x)$, всё в обычном духе), а дальше просто проверять, будут ли подпространствами те два. Те процитированные слова про вхождение нулевого элемента как раз больше напоминают решение задачи о том, является ли подмножество подпространством.