Вариационная задача с ограничениями типа неравенств

[George777]

Здравствуйте!

Мне нужно минимизировать (желательно символьно) функционал

$$ F = \int_{0}^{\pi/2} f(x)\cos{x}dx\, $$

с ограничениями:
1. $0 \leq f(x) \leq 1$
2. $\int_{0}^{\pi/2} f(x)dx=Const$
Граничные условия:

$$ f(0) =1;f(\pi/2) = 0 $$

В курсе лекций Л.Э.Эльсгольца "ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ" в части II главе 9 параграфе 3 нашел метод решения изопериметрических вариационных задач (то есть с ограничениями типа $\int_{a}^{b} \varphi(f(x),f'(x),x)dx=C$, что соответствует пункту 2. вышеизложенной задачи): необходимо составить новый функционал

$$ J = F+\int_{0}^{\pi/2} \lambda \varphi(f(x),f'(x),x)dx\, $$

и находить его экстремаль.
Насчет неравенств (1 пункт вышеизложенной задачи) смог найти только книгу Dynamic Programming in Chemical Engineering and Process Control автора Sanford M. Roberts (можно скачать на Либгене), там говорится, что ограничения неравенствами - дело сложное, и для каждого случая нужен отдельный анализ. Но как вариант предлагается решать ограничения неравенствами $ A \leq f(x) \leq B$ введением новой переменной $z$ и функции $\psi=z^2-(A-f(x))(f(x)-B)$. Далее опять же составлять новый функционал

$$ G = F+\int_{0}^{\pi/2} \gamma(x) \psi dx\, $$

и находить экстремаль решением системы уравнений Эйлера-Лагранжа для переменных $f$ и $z$. Здесь уже $\gamma(x)$ зависит от $x$ в отличие от $\lambda$ в функционале $J$.
А как объединить эти 2 условия? Будет ли легально записать обобщенный функционал в каком-нибудь таком виде

$$ Func = F+\int_{0}^{\pi/2} \gamma(x) \psi dx\,+\int_{0}^{\pi/2} \lambda \varphi(f(x),f'(x),x)dx\, $$

и искать экстремаль решением системы уравнений Эйлера-Лагранжа для переменных $f$ и $z$? Так я сделать попробовал, но уравнения мне не дали явный вид $\gamma(x)$.
Есть ли какие-то пути решения такой проблемы? Можно ли ее решить в принципе?
Заранее спасибо

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Математика (общие вопросы)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (не надо объединять все ограничения в одну большую "формулу");
- отсутствуют собственные содержательные попытки решения задачи.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[Sicker]

George777 в сообщении #1462015 писал(а):

Есть ли какие-то пути решения такой проблемы? Можно ли ее решить в принципе?

Задача элементарная, достаточно включить голову
Кстати,

George777 в сообщении #1462015 писал(а):

Граничные условия:

$$ f(0) =1;f(\pi/2) = 0 $$

лишнее

[George777]

Sicker в сообщении #1462229 писал(а):

Задача элементарная, достаточно включить голову
Кстати,

George777 в сообщении #1462015 писал(а):

Граничные условия:

$$ f(0) =1;f(\pi/2) = 0 $$

лишнее

Прошу прощения, функционал нужно МАКСИМИЗИРОВАТЬ.
Функционал будет максимизирован, если область под $f(x)$ будет представлять собой прямоугольник максимальной (в моем случае единичной) высоты и минимальной ширины, это можно понять и не решая уравнений. Но я спрашиваю, как решать такие задачи методами вариационного исчисления в принципе. Вышеизложенная задача с косинусом - это пример.

[Sicker]

George777 в сообщении #1462263 писал(а):

Прошу прощения, функционал нужно МАКСИМИЗИРОВАТЬ.

Тогда форма решения мало поменяется

George777 в сообщении #1462263 писал(а):

Функционал будет максимизирован, если область под $f(x)$ будет представлять собой прямоугольник максимальной (в моем случае единичной) высоты и минимальной ширины

Не-а

George777 в сообщении #1462263 писал(а):

Но я спрашиваю, как решать такие задачи методами вариационного исчисления в принципе

Ну например, взять пробную $f(x)$ и найти вариационную производную, а там смотреть в какую сторону двигаться

[George777]

Sicker в сообщении #1462267 писал(а):

George777 в сообщении #1462263 писал(а):

Функционал будет максимизирован, если область под $f(x)$ будет представлять собой прямоугольник максимальной (в моем случае единичной) высоты и минимальной ширины

Не-а

Я так рассуждал: функционал будет максимален в том случае, если $f(x)$ будет по-максимуму "сосредоточена" в области максимальных значений косинуса, тогда же площадь под фигурой $f(x)\cos(x)$ будет максимальна.

[Sicker]

George777 в сообщении #1462276 писал(а):

Я так рассуждал: функционал будет максимален в том случае, если $f(x)$ будет по-максимуму "сосредоточена" в области максимальных значений косинуса, тогда же площадь под фигурой $f(x)\cos(x)$ будет максимальна.

Верно, только у вас площадь ноль, а не константа в общем случае

[George777]

Sicker в сообщении #1462288 писал(а):

Верно, только у вас площадь ноль, а не константа в общем случае

Не понял.

[Sicker]

George777 в сообщении #1462292 писал(а):

Не понял.

George777 в сообщении #1462263 писал(а):

максимальной (в моем случае единичной) высоты и минимальной ширины

Минимальная ширина стремится к нулю, верно? Тогда площадь ноль, а у вас константа может быть больше нуля

[George777]

Sicker в сообщении #1462297 писал(а):

Минимальная ширина стремится к нулю, верно? Тогда площадь ноль, а у вас константа может быть больше нуля

Естественно прямоугольник должен быть не просто минимально возможной (нулевой) ширины, а минимальной ширины, ограниченной условием нормировки, я это и имел в виду.

George777 в сообщении #1462263 писал(а):

Функционал будет максимизирован, если область под $f(x)$ будет представлять собой прямоугольник максимальной (в моем случае единичной) высоты и минимальной ширины, это можно понять и не решая уравнений.

У меня на самом деле задача такая: максимизировать функционал $J=\sqrt{({\int_{0}^{\pi/2} f(x)\cos{x}dx\,})^2+({\int_{0}^{\pi/2} f(x)\sin{x}dx\,})^2}$.
Я пытаюсь найти способ разобраться математически хотя бы с косинусом, а там уже думать дальше.

[Red_Herring]

George777 в сообщении #1462328 писал(а):

Я пытаюсь найти способ разобраться математически хотя бы с косинусом, а там уже думать дальше.

Напишите коротко в точности ту задачу, которая у вас есть со всеми условиями, и без интерпретаций. Пока у вас производные нигде не фигурируют, это вообще детсад.

[Sicker]

George777 в сообщении #1462328 писал(а):

Естественно прямоугольник должен быть не просто минимально возможной (нулевой) ширины, а минимальной ширины, ограниченной условием нормировки, я это и имел в виду.

Тогда ответ неправильный.
Решение сказать?

[Lia]

Sicker
Не надо. Давайте постановку задачи подождем хотя бы.

[George777]

Lia в сообщении #1462534 писал(а):

Sicker
Давайте постановку задачи подождем хотя бы.

Red_Herring в сообщении #1462330 писал(а):

Напишите коротко в точности ту задачу, которая у вас есть со всеми условиями, и без интерпретаций.

Моя задача состоит из 2-х подзадач.
1. Надо максимизировать вот такой

$$J=\sqrt{({\int_{0}^{\pi/2} f(x)\cos{x}dx\,})^2+({\int_{0}^{\pi/2} f(x)\sin{x}dx\,})^2}$$

функционал с ограничениями $0 \leq f(x) \leq 1$ и $\int_{0}^{\pi/2} f(x)dx=Const$. Граничные условия:$ f(0) =1;f(\pi/2) = 0 $.
2. Максимизировать такой

$$ \sqrt{({\int_{0}^{\pi/2} f(x)\cos{x}\sin{[x(x+a)]}dx\,})^2+({\int_{0}^{\pi/2} f(x)\sin{x}\sin{[x(x+a)]}dx\,})^2+({\int_{0}^{\pi/2} f(x)\cos{[x(x+a)]}dx\,})^2} $$

функционал с теми же ограничениями и граничными условиями.
Очень хотел бы узнать, как такое решать или где про такое почитать.