Потенциальная энергия

[pogulyat_vyshel]

Однородный стержень массы $m$ длины $2l$ может свободно двигаться по гладкой горизонтальной плоскости. Каждый (бесконечно малый) элемент стержня притягивается неподвижной прямой этой плоскости (прямой $Ox$) с силой, прямо пропорциональной массе элемента и его расстоянию до прямой. Коэффициент пропорциональности $k$. Написать потенциальную энергию указанных сил.

[amon]

(Оффтоп)

Катался на автомобиле, боролся с Альцгеймером. В ходе борьбы получил

$$kml\left(y_0^2+2ly_0\sin\alpha+\frac{(2l)^2}{3}\sin^2\alpha\right)$$

Здесь $y_0$ -- y-координата ближнего к началу координат конца палки, а $\alpha$ -- угол ее наклона к оси $X$ ($0\le\alpha\le\frac{\pi}{2}$). Что-то слишком все просто. Видимо, что-то прощелкал.

[EUgeneUS]

amon

(Оффтоп)

IMHO
1. При $\alpha = 0$ должно получиться $\frac{kmy_0^2}{2}$
2. Удобнее рассматривать центр стержня как $y_0$, тогда потенциальная энергия "разваливается" на два слагаемых, одно связано с координатой центра, другое - с поворотом.

У меня получилось так ($y_0$ - координата центра стержня):
$U = \frac{km}{2}(y_0^2 +\frac{l^2}{3} \sin^2 \alpha)$

[amon]

(Оффтоп)

EUgeneUS в сообщении #1461599 писал(а):

При $\alpha = 0$ должно получиться $\frac{kmy_0^2}{2}$

Вроде еще на $2l$ надо домножить, тогда получится как у меня: $kmly_0^2$. Я, вроде, в другом месте слегка проврался (нашел карандаш, переписал на бумажке):

$$U(y_0,\alpha)=kml\left(y_0^2+ly_0\sin\alpha+\frac{(2l)^2}{3}\sin^2\alpha\right),$$

но что-то мне кажется, что для задачек pogulyat_vyshel все слишком просто.

[EUgeneUS]

amon

(Оффтоп)

amon в сообщении #1461605 писал(а):

Вроде еще на $2l$ надо домножить,

ИМХО, не нужно.
Для стержня, параллельного $Ox$ потенциальная энергия должна зависеть от расстояния до оси $Ox$ - квадратично, и линейно от массы стержня и коэффициента $k$, от длины стержня не зависит.
Видимо, Вы вместо массы стержня используете линейную плотность, тогда - да.

[pogulyat_vyshel]

Я приношу извинения, задача олимпиадного раздела не стоит.

[amon]

EUgeneUS в сообщении #1461615 писал(а):

Видимо, Вы вместо массы стержня используете линейную плотность, тогда - да.

Да, у меня в голове была линейная плотность, она и осталась -- чукча не читатель, и условие не перечитывал.

[dobrichev]

pogulyat_vyshel в сообщении #1461626 писал(а):

Я приношу извинения, задача олимпиадного раздела не стоит.

А я думал, что надо разобраться с осциллятором и найти потенциальную энергию сил как функцию времени, исходного положения и угла, начальной линейной и угловой скорости.