Так какое определение линейности верное?
Тут важно, разумеется, относительно каких неизвестных это уравнение. В первом определении многочлены понимаются от, возможно, одной неизвестной, но второе с ним согласуется. В общем же случае линейное уравнение — это уравнение вида
(обычно пишут без скобок:
), где
— линейное отображение (см. ссылку
realeugene), и соответственно
— векторы некоторых линейных пространств;
при этом известны, а
неизвестен. Однородное линейное уравнение — это когда
, в противном случае оно неоднородное. Теперь представьте, что вы имеете некоторое одно решение
неоднородного уравнения
, и знаете также множество
всех решений однородного
. Пользуясь свойствами линейности
, соберите множество всех решений неоднородного.
У вас должно получиться как раз множество
: возьмём любое решение неоднородного уравнения
; его можно представить как
. Раз это решение, то
, что равносильно
, то есть, что
— решение соответствующего однородного уравнения. (Это доказательство в обе стороны, но может выглядеть однобоким.)
(Обычные линейные уравнения одной вещественной переменной и системы из многих уравнений от вещественных переменных получатся, если ввести на пространствах, на которых действует
, базисы, и для координат
получится обычная матричная система.)
Вам наверно интересно, как это стыкуется с теми определениями линейности (систем) полиномиальных уравнений. Тут всё просто: они должны получаться из какого-то такого линейного уравнения, а потому каждое из уравнений системы должно иметь вид
, где
известные. Если добавить в левую часть хоть один моном с произведением нескольких неизвестных (и полной степенью выше 1), она станет нелинейной относительно всего набора неизвестных разом.
Тогда общее решение неоднородного уравнения будет... Я даже не знаю, как сложить частное решение ЛНУ с общим решением ЛДУ и как это записать.
Параметрически. Общее решение
имеет вид
(например),
, частное решение
запишем как
. Теперь сложим и получим
.
P. S. А уравнения на функции будут отличаться тем, что неизвестная функция
— это как бесконечный набор неизвестных
, для каждого
своя. Когда мы складываем функции, мы так же как выше складываем значения таких переменных для каждой переменной по отдельности. А дифференцирование — это линейное отображение:
,
, так что если в дифуре не возводить неизвестную функцию и её производные в степени и вообще друг на друга их не умножать, оно будет совершенно натурально линейным; на известные же функции умножать можно, потому что это тоже линейная операция:
,
.