Найти предельное распределение с помощью х.ф.

[Juicer]

Пусть $ X \sim Geom(p)$ (первый успех), $p \in (0, 1)$. Как с помощью х.ф. найти предельное распределение

$$p(X_p - 1), \; p\to 0?$$

Насколько я понимаю, нужно найти характеристическую функцию $f_{p(X_p - 1)}(t)$, выражая её через х.ф. геометрического распределения, то есть

$$f_X(t) = \dfrac{pe^{it}}{1 - (1 - p)e^{it} },$$

но как правильно это сделать?

[Otta]

Пользуясь свойствами х.ф.

[Juicer]

Otta
подскажите, пожалуйста, как это сделать

[Otta]

Ну, у х.ф. много свойств, но не настолько.
У Вас линейное преобразование с.в. со сдвигом, для него свойство есть.
А если и нет, выведите сами, чему равна $f_{a\xi+b}(t)$ при известной $f_\xi$. Это очень легко.

[Juicer]

Otta в сообщении #1461055 писал(а):

линейное

Получилось так:

$f_{p(X_p - 1) }(t) = \mathbb{E} e^{itp(X_p - 1) } = \dfrac{1}{e^{itp} } \mathbb{E} e^{pitX_p} =\dfrac{1}{e^{itp} } \dfrac{p^2e^{it} }{1 - (1 - p) e^{it} } = \dfrac {p^2e^{it(1 - p)} }{1 - (1 - p) e^{it} } \underset{p \to 0}{\longrightarrow}$ $0$

Правильно?

[Otta]

Не. У Вас х.ф. в нуле равна чему сейчас? а должна быть?

[Juicer]

Otta в сообщении #1461060 писал(а):

Не. У Вас х.ф. в нуле равна чему сейчас? а должна быть?

Понял:
$f_{p(X_p - 1) }(t) = \mathbb{E} e^{itp(X_p - 1) } = \dfrac{1}{e^{itp} } \mathbb{E} e^{pitX_p} =\dfrac{1}{e^{itp} } \dfrac{pe^{itp} }{1 - (1 - p) e^{itp} } = \dfrac {p }{1 - (1 - p) e^{itp} } \overset{ L'Hopital}{ \underset{p \to 0}{\longrightarrow} }$ $1$

[Otta]

Теперь лучше. Но маркизу я не верю.

[Juicer]

Otta в сообщении #1461064 писал(а):

маркизу

да нет, маркиз-то прав, это опять моя невнимательность...
перепутал, что дифференцируем мы по $p$, а не по $t$:

$$ \dfrac {p }{1 - (1 - p) e^{itp} } \overset{ L'Hopital}{ \underset{p \to 0}{\longrightarrow} } = \dfrac{1}{1 - it}$$

[Otta]

Ага, теперь хорошо.