Обозначение функции

[Solaris86]

Я не понимаю, что значит известная функция своих аргументов.
И вообще, что это за обозначение такое $F(...) = 0$
Помогите разобраться на конкретных примерах.

[Eule_A]

Solaris86 в сообщении #1461013 писал(а):

Я не понимаю, что значит известная функция своих аргументов.
И вообще, что это за обозначение такое $F(...) = 0$

Обозначение самое что ни на есть стандартное. Означает в принципе закон, по которому независимым переменным сопоставляется зависимая переменная.
Например, $F(x,y)=2xy$. А что функция известная - значит в конкретной задаче Вы её знаете, а тут она - в общем виде. Некая. Но потенциально известная. Не знаю, как ещё понятнее...

[Mikhail_K]

Solaris86 в сообщении #1461013 писал(а):

Помогите разобраться на конкретных примерах.

Возьмите пример дифференциального уравнения из того учебника, который Вы процитировали.
Выпишите для него функцию $F$.

[Solaris86]

Eule_A в сообщении #1461014 писал(а):

Solaris86 в сообщении #1461013 писал(а):

Я не понимаю, что значит известная функция своих аргументов.
И вообще, что это за обозначение такое $F(...) = 0$

Обозначение самое что ни на есть стандартное. Означает в принципе закон, по которому независимым переменным сопоставляется зависимая переменная.
Например, $F(x,y)=2xy$. А что функция известная - значит в конкретной задаче Вы её знаете, а тут она - в общем виде. Некая. Но потенциально известная. Не знаю, как ещё понятнее...

Возьмём вашу предложенную функцию
$F(x,y)=2xy$
Если я напишу $F(x,y) = 0$, то это будет иметься в виду уравнение $2xy = 0$. Верно?

-- 07.05.2020, 22:03 --

Mikhail_K в сообщении #1461015 писал(а):

Выпишите для него функцию $F$.

Вот, нашёл такое $y'-2x = 0$ или $y' = 2x$
Получается, в данном случае запись вида $F(...) = 0$ будет такой: $F(x,y') = y'-2x = 0$
Или я не верно записал, пропустив в записи $y$, коэффициент при котором 0:
$y'+0y-2x = 0$ и тогда запись будет такой: $F(x,y,y') = y'-2x = 0$
Как правильно всё-таки?

[Dan B-Yallay]

Solaris86 в сообщении #1461019 писал(а):

Возьмём вашу предложенную функцию
$F(x,y)=2xy$
Если я напишу $F(x,y) = 0$, то это будет иметься в виду уравнение $2xy = 0$. Верно?

Solaris86 в сообщении #1461019 писал(а):

Вот, нашёл такое $y'-2x = 0$ или $y' = 2x$ ... запись будет такой: $F(x,y,y') = y'-2x = 0$

[Solaris86]

И тогда как записать более простые уравнения в виде $F(...) = 0$?
1. $5x=20$
$F(x) = 5x-20 = 0$
2. $x^2 - 2 = 0$
$F(x) = x^2-2 = 0$
3. $x+2xy+y+6 = 0$
$F(x,y) = x+2xy+y+6 = 0$
4. $x^3+2xy+y^2+6 = 0$
$F(x,y) = x^3+2xy+y^2+6 = 0$

Если я понял, в выражении $F(...) = 0$ в скобках учитываются переменные и производные различных порядков и не учитываются степени этих переменных и производных, так?
То есть не надо писать так:
$x^3+2xy+y^2+6 = 0$
$F(x^3,x^2, x, y^2, y) = x^3+2xy+y^2+6 = 0$?

[Dan B-Yallay]

Solaris86 в сообщении #1461023 писал(а):

И тогда как записать более простые уравнения в виде $F(...) = 0$?
1. $5x=20$
$F(x) = 5x-20 = 0$

2. $x^2 - 2 = 0$
$F(x) = x^2-2 = 0$

3. $x+2xy+y+6 = 0$
$F(x,y) = x+2xy+y+6 = 0$

Первое сделали правильно. Второе и третье и так уже были в требуемой форме. Идея такая: всё из правой части переносите в левую и приравниваете её к нулю. Выражение получившееся слева обзываете $F(.....)$ от соответствующих аргументов.

-- Чт май 07, 2020 13:19:21 --

Solaris86 в сообщении #1461023 писал(а):

То есть не надо писать так:

Да, так писать не надо. Мы же не пишем
$f(\sin(x)) = \sin x$ или $f(x^5) = x^5$


Принято обозначать так: $f(x) = \sin (x); \qquad f(x) = x^5$

[arseniiv]

Ну, тут степени $x$ или там $y''$ делать аргументами не надо в первую очередь потому что это избыточно: степени очевидным образом зависят от этих самых $x, y''$, и добавление их аргументами в $F$ ничем нам не поможет (как-то там более точно описать уравнение).

[Dementor]

(Оффтоп)

До сих пор пользовался взглядом Дирихле на понятие функции, который понимал её не как правило перехода от аргумента к значению, а как множества пар значение аргумента - значение функции. Т.е., воспринимал запись $F(...) = 0$ как множество тех и только тех значений фиксированных переменных, композиция которых обращается в ноль.

[Someone]

Solaris86 в сообщении #1461023 писал(а):

То есть не надо писать так:
$x^3+2xy+y^2+6 = 0$
$F(x^3,x^2, x, y^2, y) = x^3+2xy+y^2+6 = 0$?

Вообще говоря, такая запись может быть осмысленной. Например, если где-то ранее по тексту Вы ввели функцию $F(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5,x_6,x_7)=x_1+x_6x_3x_5+x_4+x_7$, то Вы можете записать ваше уравнение в виде $F(x^3,x^2,x,y^2,y,2,6)=0$. Но я категорически не советую так делать без какой-либо совершенно особенной причины.

[provincialka]

Solaris86
А вы как записываете (конкретный) квадратный трехчлен? В виде $2x^2-3x-4$ или в виде $ax^2+bx+c=2x^2-3x-4$? Тут $ax^2+bx+c$ -- "некий" трёхчлен, трёхчлен общего вида, а $2x^2-3x-4$ -- конкретный представитель этого типа функций (или многочленов).

Кстати, вспомнился смешной случай. Дело было на разборе задач олимпиады (я его слушала, не проводила )). Преподаватель пишет на доске некие равенства типа
$A_1 = B_1$
$A_2 = B_2$
...
$A_n = B_n$
и спрашивает: "Сколько здесь записано равенств?" Ответ "зала" -- три! Очень я тогда этому поразилась... Несовпадению презумпций, так сказать...

[Solaris86]

provincialka в сообщении #1461297 писал(а):

А вы как записываете (конкретный) квадратный трехчлен? В виде $2x^2-3x-4$ или в виде $ax^2+bx+c=2x^2-3x-4$? Тут $ax^2+bx+c$ -- "некий" трёхчлен, трёхчлен общего вида, а $2x^2-3x-4$ -- конкретный представитель этого типа функций (или многочленов).

Я его запишу $F(x)=ax^2+bx+c=2x^2-3x-4$
Я где-то видел, что хорошим тоном считается запись решения дифура как $F(...) = C$.
Меня как раз интересовало, что значит запись, когда слева функция, а справа 0.

-- 09.05.2020, 02:45 --

Someone в сообщении #1461291 писал(а):

Вообще говоря, такая запись может быть осмысленной. Например, если где-то ранее по тексту Вы ввели функцию $F(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5,x_6,x_7)=x_1+x_6x_3x_5+x_4+x_7$, то Вы можете записать ваше уравнение в виде $F(x^3,x^2,x,y^2,y,2,6)=0$. Но я категорически не советую так делать без какой-либо совершенно особенной причины.

Вот не думал, что и постоянные можно в эту скобку добавлять...

[provincialka]

Solaris86 в сообщении #1461302 писал(а):

Я его запишу $F(x)=ax^2+bx+c=2x^2-3x-4$

Тяжелый случай... умываю руки

[newUser23]

provincialka в сообщении #1461297 писал(а):

"Сколько здесь записано равенств?"

Вот коварная эта запись. Очевидно, правильный ответ $n$ равенств. Вот только $n$ может быть равно 1. А когда приводят такую запись, то обычно в голове представляют "много" равенств. Это как с множествами. Представляя множество, человек обычно представляет в нем много элементов. А оно может быть пустым или одноэлементным. И в каком-нибудь доказательстве может быть неявно использован тот факт, что элементов больше нуля например. Или как с векторами. Многие (школьники) думают, что коллинеарность векторов транзитивна, хотя это не так. А все потому, что представляют вектор ненулевым. Кстати говоря, интересно узнать, можно ли вообще представлять какой-нибудь математический объект в общем виде? Или всегда представляем какую-то одну частную реализацию, но в голове держим вырожденные случаи и тем самым рассматриваем несколько вариантов?

[provincialka]

newUser23
согласна с вами... Но уж точно "три" -- не тот ответ, который ожидался! Хотя он абсолютно верный.

-- 09.05.2020, 04:13 --

newUser23 в сообщении #1461306 писал(а):

Или всегда представляем какую-то одну частную реализацию, но в голове держим вырожденные случаи и тем самым рассматриваем несколько вариантов?

Думаю, это ближе к истине