Потокосцепление при соединении катушек индуктивности

[Solaris86]

Появилось предположение, что перечисленные выше значения напряжений - это стороны прямоугольного треугольника (векторная диаграмма), то есть по сути это максимальные значения
$U_{\max} = 5 \text{В}$
$U_R_{\max} = 1.161 \text{В}$
$U_L_{12}_{\max} = 4.863 \text{В}$
Пусть в выбранный мной момент времени $t$ будет равенство $U = U_\max$, это означает что косинус в формуле $U(t) = U_{\max} \cos (\omega t + \varphi_0)$ равен 1.
Тогда расположим на диаграмме ось для проецирования значения напряжений параллельно вектору $\vec{U}$
Тогда проекции на эту ось всех векторов будут такими:
$U = U_{\max} = 5 \text{В}$
$U_R = \frac {U^2_R_{\max}}{U_{\max}} = \frac {1.161^2}{5}= 0.27 \text{В}$
$U_L_{12} = \frac {U^2_L_{12 \max}}{U_{\max}} = \frac {4.863^2}{5}= 4.73 \text{В}$
В таком случае второй закон Кирхгофа выполняется.
$U = 5\text{В}$
$U_R+U_L_{12} = 0.27 + 4.73 = 5\text{В}$
$U_R+U_L_{12} = U$.

Solaris86 в сообщении #1460782 писал(а):

$U = \sqrt{U_R^2 + U_L_{12}^2} = I\sqrt{R_R^2 + (2f(\frac{L_1L_2}{L_1+L_2}))^2} \Rightarrow I = \frac{U}{\sqrt{R_R^2 + (2 \pi f(\frac{L_1L_2}{L_1+L_2}))^2}} = \frac{5}{\sqrt{1 + 16\pi^2/9}} = 1.161 \text{А}$
$U_R =I_RR_R = IR_R = 1.161 \text{В}$
$U_L_{12} = \sqrt{U^2 - U_R^2} = \sqrt{25 - 1.161^2} = 4.863 \text{В}$
$U_L_1 = I_L_1 \omega L_1 = 2I_L_1 \pi fL_1 \Rightarrow I_L_1 = \frac{U_L_1}{2 \pi fL_1} = \frac{4.863}{2 \pi} = 0.774 \text{А}$
$U_L_2 = I_L_2 \omega L_2 = 2I_L_2 \pi fL_2 \Rightarrow I_L_2 = \frac{U_L_2}{2 \pi fL_2} = \frac{4.863}{4 \pi} = 0.387 \text{А}$
$\Phi_1 = \Phi_2 = \Phi = 0.774 \text{Вб}$

Тогда токи будут другие и магнитный поток:
$U_L_1 = I_L_1 \omega L_1 = 2I_L_1 \pi fL_1 \Rightarrow I_L_1 = \frac{U_L_1}{2 \pi fL_1} = \frac{4.73}{2 \pi} = 0.7528 \text{А}$
$U_L_2 = I_L_2 \omega L_2 = 2I_L_2 \pi fL_2 \Rightarrow I_L_2 = \frac{U_L_2}{2 \pi fL_2} = \frac{4.73}{4 \pi} = 0.3764 \text{А}$
$\Phi_1 = \Phi_2 = \Phi = 0.7528 \text{Вб}$
Но теперь нарушился первый закон Кирхгофа:
$I_L_{12} = 1.161 \text{А}$
$I_L_1 + I_L_2 = 0.7528 + 0.3764 = 1.1292 \text{А}$
$I_L_1 + I_L_2 < I_L_{12}$

[realeugene]

Solaris86 в сообщении #1460782 писал(а):

Дифуры - конечно, хорошо, но хотелось бы без них тут.

Столько написать текста, вместо того, чтобы воспользоваться прямым методом? Удачи!

[Solaris86]

Попытался изобразить векторные диаграммы токов и напряжений.
Синяя ось - ось для проекций.
Красные линии - границы проекций.
Сами проекции - линии зелёного цвета.
Картинка правильная? Мне кажется, или токи на диаграмме надо было рисовать параллельно вектору $U_R_{\max}?$

[EUgeneUS]

Solaris86 в сообщении #1460362 писал(а):

По аналогии я попытался провернуть вывод общей индуктивности при соединении катушек индуктивности:

Ваша ошибка в том, что Вы в качестве "аналогии" выбрали потокосцепление.
Что для активных сопротивлений, что для конденсаторов, что для индуктивностей формулы для параллельного и последовательного соединений выводятся из правил Кирхгофа. Плюс еще что-то (разное для каждого типа элемента)

Вот для последовательных сопротивлений:
0. Закон Ома:
$U=IR$
1. Первое правило Кирхгофа:
$I_{\Sigma}=I_1=I_2=I_3=... I_i ...$
2. Второе правило Кирхгофа:
$U_{\Sigma}=U_1+U_2+U_3+... U_i ...$

Вот для последовательных конденсаторов:
0. Напряжение на конденсаторе
$U = \frac{Q}{C}$
1. Первое правило Кирхгофа:
$I_{\Sigma}=I_1=I_2=I_3=... I_i ...$
Проинтергрируем его по времени, принимая начальные значение зарядов конденсаторов равными нулю:
$Q_{\Sigma}=Q_1=Q_2=Q_3=... Q_i ...$
2. Второе правило Кирхгофа:
$U_{\Sigma}=U_1+U_2+U_3+... U_i ...$

Вопросы:
1. так что должно быть "по аналогии" для индуктивностей в пункте "ноль"?
2. что нужно сделать "по аналогии" для индуктивностей с первым правилом Кирхгофа?

[Solaris86]

EUgeneUS в сообщении #1460800 писал(а):

Вот для последовательных сопротивлений:
0. Закон Ома:
$U=IR$
1. Первое правило Кирхгофа:
$I_{\Sigma}=I_1=I_2=I_3=... I_i ...$
2. Второе правило Кирхгофа:
$U_{\Sigma}=U_1+U_2+U_3+... U_i ...$

Вот для последовательных конденсаторов:
0. Напряжение на конденсаторе
$U = \frac{Q}{C}$
1. Первое правило Кирхгофа:
$I_{\Sigma}=I_1=I_2=I_3=... I_i ...$
Проинтегрируем его по времени, принимая начальные значение зарядов конденсаторов равными нулю:
$Q_{\Sigma}=Q_1=Q_2=Q_3=... Q_i ...$
2. Второе правило Кирхгофа:
$U_{\Sigma}=U_1+U_2+U_3+... U_i ...$

Для последовательных катушек:
0. Напряжение на катушке:
$U = -\varepsilon = L\frac{d}{dt}I$
1. Первое правило Кирхгофа:
$I_{\Sigma}=I_1=I_2=I_3=... I_i ...$
Продифференцируем его по времени, принимая начальные значение токов катушек равными нулю:
$\frac{d}{dt}I_{\Sigma}=\frac{d}{dt}I_1=\frac{d}{dt}I_2=\frac{d}{dt}I_3=... \frac{d}{dt}I_i ...$
2. Второе правило Кирхгофа
$U_{\Sigma}=U_1+U_2+U_3+... U_i ...$
$L_{\Sigma}\frac{d}{dt}I_{\Sigma}=L_1\frac{d}{dt}I_1+L_2\frac{d}{dt}I_2+L_3\frac{d}{dt}I_3+... L_i\frac{d}{dt}I_i ...$
Откуда $L_{\Sigma} = L_1+L_2+L_3+... L_i...$

Для параллельных катушек:
0. Напряжение на катушке:
$U = -\varepsilon = L\frac{d}{dt}I$
1. Первое правило Кирхгофа:
$I_{\Sigma}+I_1+I_2+I_3+... I_i ...$
Продифференцируем его по времени, принимая начальные значение токов катушек равными нулю:
$\frac{d}{dt}I_{\Sigma}=\frac{d}{dt}I_1+\frac{d}{dt}I_2+\frac{d}{dt}I_3+... \frac{d}{dt}I_i ...$
2. Второе правило Кирхгофа
$U_{\Sigma}=U_1=U_2=U_3=... U_i ...$
$\frac{U_{\Sigma}}{L_{\Sigma}}=\frac{U_1}{I_1}+\frac{U_2}{I_2}+\frac{U_3}{I_3}+... \frac{U_i}{I_i} ...$
Откуда $\frac{1}{L_{\Sigma}}=\frac{1}{L_1}+\frac{1}{L_2}+\frac{1}{L_3}+... \frac{1}{L_i} ...$

Такие преобразования имелись в виду?

[EUgeneUS]

Solaris86 в сообщении #1460837 писал(а):

Такие преобразования имелись в виду?

Да. (если на опечатки закрыть глаза)
Все же просто и аналогично.

[Solaris86]

EUgeneUS в сообщении #1460845 писал(а):

Все же просто и аналогично.

Какие опечатки?

[EUgeneUS]

Solaris86 в сообщении #1460837 писал(а):

1. Первое правило Кирхгофа:
$I_{\Sigma}+I_1+I_2+I_3+... I_i ...$

Вот тут одна есть.

-- 07.05.2020, 12:03 --

Solaris86 в сообщении #1460837 писал(а):

Продифференцируем его по времени, принимая начальные значение токов катушек равными нулю:

И вот здесь остаток копипасты после запятой, очевидно, лишний

[DimaM]

Solaris86 в сообщении #1460782 писал(а):

Вопрос: что же будет в случае постоянного тока - магнитные потоки катушек равны и тогда ток определён или они не равны и тогда ток не определён и каждый раз он будет случайной величиной из заданного диапазона?

Зависит от истории.
Если к собранной цепи подключают источник, магнитные потоки в катушках будут равными.
Если к цепи из источника, сопротивления и $L_1$, ток в которой установился, подключают $L_2$, ток во второй катушке будет нулевым.
Если подключают катушку, в которой уже течет ток, установившиеся значения будут еще какими-то.
Можно заметить, что разность магнитных потоков в двух катушках будет сохраняться. Попробуйте самостоятельно показать, почему это так.

[realeugene]

В случае постоянного тока, токи через катушки будут распределяться в соответствии с их активными сопротивлениямм, которыми пренебрегают в моделях идеальных индуктивностей.

[Solaris86]

realeugene в сообщении #1460792 писал(а):

Solaris86 в сообщении #1460782

писал(а):
Дифуры - конечно, хорошо, но хотелось бы без них тут. Столько написать текста, вместо того, чтобы воспользоваться прямым методом? Удачи!

Что ж, чтобы окончательно разобраться со вчерашней задачей на переменный ток (и точно быть уверенным в правильности построения векторных диаграмм), давайте к дифурам.
Нашёл похожу задачу в учебнике ТОЭ Быкова

Для начала по самому дифуру:
$u_0(t)$ - напряжение идеального источника напряжения
$u_R(t)$ - напряжение резистора
$u_R(t)$ - напряжение катушки
Обходим контур по часовой стрелке:
$-u_0(t) + u_R(t) + u_L(t) = 0$
$u_R(t) + u_L(t) = u_0(t)$
$u_R(t) = I_R(t)R$
$u_L(t) = L\frac{dI_L(t)}{dt}$
$I_R(t)R + L\frac{dI_L(t)}{dt} = u_0(t)$
Дальше у меня 2 вопроса:
1. Как дальше решать без перехода к комплексным амплитудам?
2. Что это за подстановка такая (5.18), где просто так выкинута сопряжённые комплексные амплитуды?!

[realeugene]

Solaris86 в сообщении #1460943 писал(а):

1. Как дальше решать без перехода к комплексным амплитудам?

Как вы раньше решали для мгновенных значений - так и продолжать решать.

Solaris86 в сообщении #1460943 писал(а):

2. Что это за подстановка такая (5.18), где просто так выкинула сопряжённые комплексные амплитуды?!

Это комплексное представление сигналов. Ищем решение в таком виде. Так как у линейного дифференциального уравнения действительные коэффициенты, комплексносопряженное решение, тоже, будет решением уравнения. Как и их линейные комбинации.

[Solaris86]

realeugene в сообщении #1460945 писал(а):

Как вы раньше решали для мгновенных значений - так и продолжать решать.

Хорошо. Первый раз в жизни решаю дифур по ТОЭ...
$I_R(t)R + L\frac{dI_L(t)}{dt} = u_0(t)$
Предположу, что нужно домножить уравнение на $dt$
$I_R(t)Rdt + LdI_L(t) = u_0(t)dt$
Далее проинтегрировать:
$\int I_R(t)R dt + \int LdI_L(t) = \int u_0(t)dt$
А дальше всё...

[DimaM]

Solaris86 в сообщении #1460949 писал(а):

Первый раз в жизни решаю дифур по ТОЭ...
$I_R(t)R + L\frac{dI_L(t)}{dt} = u_0(t)$

А что, токи разные?

Solaris86 в сообщении #1460949 писал(а):

Предположу, что нужно домножить уравнение на $dt$

Решением линейного неоднородного ОДУ является сумма общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного.

[realeugene]

Solaris86 в сообщении #1460949 писал(а):

Хорошо. Первый раз в жизни решаю дифур по ТОЭ...

Вот только ваша схема немного другая. Во-первых, вы можете принять $R=0$. Во-вторых, вы ищете, при каких условиях можно заменить параллельно включённые индуктивности одной индуктивностью? Это две разные схемы и два разных дифура. Их решать не нужно, достаточно найти условия, при которых у них будут одинаковые решения для тока через источник. Для произвольного $u_0(t)$.