Численное решение системы нелинейных уравнений

[mak1610]

Доброго времени суток!

Возник следующий вопрос: имеется система дифференциальных уравнений с граничными условями и ограничениями на решение. После дискретизации получается система нелинейных уравнений следующего вида

$ \begin{cases} f_1 (x_1, \dots, x_n) = 0 \\ \dots \\ f_n (x_1, \dots, x_n) = 0 \\ f_{n + 1} (x_1, \dots, x_n) = 0 \\ \dots \\ f_m (x_1, \dots, x_n) = 0 \end{cases} $

Где уравнения $f_{n+1}, \dots, f_m$ уже приходят из дискретизации граничных условий и условий на норму решения. Как тогда решают не квадратную систему уравнений каким-нибудь методом, ведь матрица Якоби уже не квадртаная и обратная к ней не сущестует в классическом смысле. Как решают такие системы? Я потратил время на поиск каких-то стандартных методов для неквадратных систем, но ничего полезного не смог найти.

Заранее благодарю за любую помощь!

[Markiyan Hirnyk]

Так как $m>n$, то в общем случае система не имеет решений. Можно минимизировать сумму квадратов невязок $f_1(x_1,\dots,x_n)^2+\cdots+f_m(x_1,\dots,x_n)^2$.

[mak1610]

Markiyan Hirnyk в сообщении #1460646 писал(а):

Так как $m>n$, то в общем случае система не имеет решений. Можно минимизировать сумму квадратов невязок $f_1(x_1,\dots,x_n)^2+\cdots+f_m(x_1,\dots,x_n)^2$.

Спасибо за ваш ответ!

Скажите, а если так: у меня на некоторых границах условия Дирихле. Тогда я могу подставить и уравнение и заменить какие-то уравнения на условие, что $x_i = 0$. Ведь, если исходить из предположения что система имеет единственное аналитическое решение, то численно у неё тоже должно быть решение. Тогда она может свестись к квадратной, если мы заменим некоторые уравнения на условия для решений. Или я ошибаюсь?

[Pphantom]

Пожалуй, это тот вопрос, который бесполезно задавать в общем виде. Да, для произвольной системы $m$ нелинейных уравнений для $n$ неизвестных, где $m>n$, решения не будет, но получить такую систему из исходной задачи малореально. Поэтому лучше опишите исходную постановку задачи (вместе с последующей дискретизацией).

[mak1610]

Pphantom в сообщении #1460656 писал(а):

Пожалуй, это тот вопрос, который бесполезно задавать в общем виде. Да, для произвольной системы $m$ нелинейных уравнений для $n$ неизвестных, где $m>n$, решения не будет, но получить такую систему из исходной задачи малореально. Поэтому лучше опишите исходную постановку задачи (вместе с последующей дискретизацией).

Спасибо за ваш комментарий!

У меня имеется система из двух зависимых друг от друга (обе неизвестные функции появляются в каждом уравнении) транспортных уравнений с нелинейными членами. Решаю пока в 2D - координаты $x$ и $t$. Даны граничные условия в одном из направлений, условия на решения (норма решения должна быть фиксированной). Но начальных данных нет, дано только что решение должно быть периодично по времени. Тогда я применяю дискретизацию и рассматриваю обе переменные как равноправные (потому что схемы типа Рунге-Кута неприменимы из-за поставноки задачи). Значит просто заменяю каждую производную на её дискретный аналог. Тогда взятие производной эквивалентно умножению на соответствующую матрицу (для каждой схемы дискретизации она своя, но сейчас это не имеет большой заницы). Но из-за нелинейных членов мы не можем просто переписать действие оператора как умножение на матрицу. Ну тогда я просто переписываю систему ДУЧП как нелинейную систему. Отсюда и берется первые $n$ уравнений для

$ \begin{cases} f_1 (x_1, \dots, x_n) = 0 \\ \dots \\ f_n (x_1, \dots, x_n) = 0 \end{cases} $

Но вот есть граничные условия, условия на норму, периодичность (на самом деле переоидчность можно учесть просто выбрав правильную дискретизацию производных). Из этого и появляются оставшиеся уравнения
$ \begin{cases} f_{n+1} (x_1, \dots, x_n) = 0 \\ \dots \\ f_{m} (x_1, \dots, x_n) = 0 \end{cases} $

Так и полчается исходная система. Если изначальная система корректно поставлена, то и эта система должна иметь решение. Но эта система неквадратная, как тогда быть?

[Pphantom]

mak1610 в сообщении #1460666 писал(а):

Спасибо за ваш комментарий!

Пожалуйста, но вы им пока не воспользовались. Под "описанием" я подразумевал не общие слова, а конкретные уравнения - сначала ДУЧП, потом разностные.