Возможно ли создать такое поле?

[Alastoros]

В формуле потенциала квадрупольного момента ${Q_{ab}}{x_a}{x_b}$, откуда при подстановке координат в сферической форме появится тригонометрическая функция двойной долготы или двойной широты (в зависимости от соотношения квадрата квадруполя и сетки координат). Означает ли это невозможность создания системы зарядов с пропорциональностью компонент поля тригонометрическим функциям не двойного, но только одинарных углов?

[EUgeneUS]

Alastoros в сообщении #1460569 писал(а):

Означает ли это невозможность создания системы зарядов с пропорциональностью компонент поля тригонометрическим функциям не двойного, но только одинарных углов?

Нет, не означает. Более того, раз Вы уже приступили к изучению квадруполей, то должны знать как называется такая система зарядов.

[Alastoros]

Формально диполь подходит, но требуется поле с зависимостью компонент и от широты, и от долготы, и чтобы при обходе по углам они меняли знак только один раз, а поле диполя от долготы не зависит.

[EUgeneUS]

Alastoros
Если у плоского квадратного квадруполя перевернуть один диполь, то должно подойти.
UPD: Ан-нет. Не подходит.

[Alastoros]

Да, не подходит. Посчитал, квадрупольное поле в этом случае вообще равно нулю: 4 заряда в координатной плоскости $yz$, центр квадрата совпадает с точкой начала координат, тогда координаты зарядов есть ($R = 0,5h{2^{0,5}}$, где $h$ - сторона квадрата):
${x_{q1}} = {x_{q2}} = {x_{q3}} = {x_{q4}} = 0$
${y_{q1}} = {y_{q2}} = {z_{q2}} = {z_{q4}} = (-R)$
${z_{q1}} = {y_{q3}} = {z_{q3}} = {y_{q4}} = R$
, а компоненты тензора квадрупольного момента:
${Q_{11}} = (-2{R^2})({q_1} + {q_2} + {q_3} + {q_4})$
${Q_{22}} = {Q_{33}} = ({R^2})({q_1} + {q_2} + {q_3} + {q_4})$
${Q_{12}} = {Q_{21}} = {Q_{13}} = {Q_{31}} = 0$
${Q_{23}} = {Q_{32}} = (3{R^2})({q_2} + {q_3} - {q_1} - {q_4})$
Если повернуть диполи в квадруполе, заряды будут равны:
${q_1} = {q_3} = q$
${q_2} = {q_4} = (-q)$
, и все компоненты тензора квадрупольного момента равны нулю.

[EUgeneUS]

Alastoros в сообщении #1460596 писал(а):

Да, не подходит.

...

Alastoros в сообщении #1460596 писал(а):

и все компоненты тензора квадрупольного момента равны нулю.

Вам нужна система зарядов, создающая поле с определенными свойствами. И это точно будет не квадруполь. Так что удивляться тому, что все компоненты тензора квадрупольного момента обнулились не приходится.

Не подходит по другой причине: если провести ось, соединяющие центры сторон квадрата с одноименными зарядами (кстати, её направление совпадет с направлением вектора дипольного момента), то при повороте вокруг неё на $\pi$ система перейдет в себя. А значит потенциал будет зависеть от двойного угла поворота вокруг этой оси. А нужно от одинарного.

-- 06.05.2020, 14:37 --

Вот такую систему зарядов можно предложить:
Треугольник, пусть равносторонний.
В одной вершине заряд $+3q$, в другой - $-2q$, в третьей - $-q$.
Нет ни одной оси, при повороте вокруг которой система переходит сама в себя при угле поворота отличном от $2 \pi$.

[Alastoros]

Интересно, и я думал, что решение задачи как-то связано с нарушением исходной симметрии при обходе вокруг квадруполя. Теперь надо думать, как вычислить потенциал, по принципу суперпозиции он будет равен ${({q_1}{r_2}{r_3} + {q_2}{r_1}{r_3} + {q_3}{r_1}{r_2})}{{({r_1}{r_2}{r_3})}^{-1}}$ и теперь надо вычислить эти расстояния так, чтобы потенциал трехполья выразился через сферические координаты.
Впрочем, если посчитать его квадрупольный момент (полагая четвертый заряд нулевым) и вычислить компоненты его квадрупольного поля, оно будет зависеть от двойных углов:
${E_1} = {2,25q}{h^2}{r^{-4}}{({\sin{\theta}})^2}{({3,5{({\ctg{\theta}})^2}} - {1,5{({\sin{\varphi})}^2}} - 1)}$
${E_2} = {1,125q}{h^2}{r^{-4}}{\sin{2{\theta}}}{({({\sin{\varphi})}^2} + 3)}$
${E_3} = {1,125q}{h^2}{r^{-4}}{\sin{\theta}}{\sin{2{\varphi}}}$
Таким образом, зависимость от двойного угла и здесь не исключается, - но, может, они убывают быстрее чем те, которые надо вычислить, и приближенно такая система подойдет.