Оператор простого типа или нет?

[nnosipov]

Brukvalub в сообщении #1459620 писал(а):

Например, профессор А.В. Архангельский называет такие операторы "богатыми".

А операторы с простым спектром, видимо, "самые богатые".

Нам лекции по теоретической механике читал проф. Архангельский. Это не тот?

[Padawan]

nnosipov в сообщении #1459627 писал(а):

А операторы с простым спектром, видимо, "самые богатые".

А если еще и невырожденные -- "олигархи"
У нас в лекциях диагонализируемые операторы называли "операторами простой структуры". По-моему так в Мальцеве Основы линейной алгебры.

[nnosipov]

(Оффтоп)

После "олигархов" открывается большой простор для новой терминологии: "воры в законе" (самосопряженные операторы), "мафиози" (нормальные операторы), "решалы" (ортогональные/унитарные операторы). Хотя для последних лучше, наверное, "финансовые воротила".

-- Сб май 02, 2020 23:11:24 --

Padawan в сообщении #1459630 писал(а):

У нас в лекциях диагонализируемые операторы называли "операторами простой структуры".

Да уж, разнообразия тут хватает. Но для меня термин "диагонализируемый" самый удобный.

[Brukvalub]

nnosipov в сообщении #1459627 писал(а):

Нам лекции по теоретической механике читал проф. Архангельский. Это не тот?

Нет, тот Архангельский Ю.А. У меня он также читал теормех, последнее время он жил в Германии. Был очень хорошим лектором, но сильно заикался. Чтобы преодолеть свой недуг, он произносил некоторые слова, начиная их с частицы со-...
и сильно смешил наш поток, когда говорил о со-вращающемся теле.
А я рассказывал о профессоре А.В. Архангельском с кафедры, основанной П.С. Александровым - кафедры общей топологии.
Вот ссылка на его учебник по линалу.

[nnosipov]

Brukvalub в сообщении #1459709 писал(а):

Нет, тот Архангельский Ю.А. У меня он также читал теормех, последнее время он жил в Германии. Был очень хорошим лектором, но сильно заикался. Чтобы преодолеть свой недуг, он произносил некоторые слова, начиная их с частицы со-...
и сильно смешил наш поток, когда говорил о со-вращающемся теле.

Да-да, точно, он заикался, сейчас вспомнил. Со-вращающиеся тела и у нас наверняка были. Но он и сам любил пошутить. Как-то на семинаре сильно рассмешил одну мою одногруппницу, рассказывая про правило буравчика (дело было под Новый год, и все мысленно открывали бутылки).

А книжка А.В. Архангельского по линейной алгебре у меня даже когда-то была, но я, похоже, не особо ее смотрел, раз не помню про богатые операторы.

[romanovski]

nnosipov

Тогда я видимо не понял, что такое матрица нулевого оператора. Как я предполагал, это простая матрица состоящая из одних нулей. Каким же таким образом будет выглядеть матрица нулевого линеечного оператора? Из того, что видел в Интернете, то там тоже встречается нулевая матрица в качестве матрицы нулевого линейного оператора.

-- 05.05.2020, 19:05 --

nnosipov

Тогда я видимо не понял, что такое матрица нулевого оператора. Как я предполагал, это простая матрица состоящая из одних нулей. Каким же таким образом будет выглядеть матрица нулевого линеечного оператора? Из того, что видел в Интернете, то там тоже встречается нулевая матрица в качестве матрицы нулевого линейного оператора.

[ewert]

(Оффтоп)

Brukvalub в сообщении #1459620 писал(а):

Требование, чтобы оператор имел только однократные собственные значения, на мой взгляд, не совсем естественно и не выделяет какого-то важного в общей теории класса операторов

Формально -- совсем не естественно. А вот вычислительно -- это ещё как сказать. Если есть кратные собственные числа, то как (с учётом погрешностей округления) отличить его от недиагонализуемого?...

-- Вт май 05, 2020 19:13:53 --

(Оффтоп)

romanovski в сообщении #1460414 писал(а):

Каким же таким образом будет выглядеть матрица нулевого линеечного оператора?

Ровно таким же, как и матрица транспортирного оператора.

[nnosipov]

romanovski в сообщении #1460414 писал(а):

Тогда я видимо не понял, что такое матрица нулевого оператора.

Это, вообще-то, очень трудно не понять.

Вопрос ребром: Вы нашли в своих лекциях, что у Вас называется оператором простого типа? Сформулируйте здесь это определение. А после этого мы обсудим, будет ли нулевой оператор оператором простого типа или не будет (ответ зависит от определения!).

-- Вт май 05, 2020 23:14:17 --

(Оффтоп)

По поводу простого спектра: почти любой оператор имеет простой спектр (ну, по крайней мере, над алгебраически замкнутым полем), что же здесь неестественного? Наоборот.

[romanovski]

Оператор $ {A} $ называется оператором простого типа, если его собственные векторы образуют базис в пространстве $ V_3 $, то есть собственных векторов ровно n штук и они линейно независимы.

Допустим, что в моём конкретном случае, используя данное определение, оператор нулевой не будет оператором простого типа, но ради интереса, подскажите, пожалуйста, где можно найти информацию о втором случае, при котором оператор нулевой был бы оператором простого типа.

[nnosipov]

romanovski в сообщении #1460468 писал(а):

Допустим, что в моём конкретном случае, используя данное определение, оператор нулевой не будет оператором простого типа

Как это не будет?! Теперь, когда все маски сброшены определение оператора простого типа у нас перед глазами, неужели мы не можем понять эту мелочь про нулевой оператор?

[romanovski]

nnosipov
Тогда в таком случае проблема не в моем определении, а в нулевом операторе. я не могу понять, что это и как выглядит, например, его матрица. Я уже говорил, что в моем понимании это обычная нулевая матрица, но она не подходит под определение. Значит он выглядит иначе, но в интернете я не смог найти информации, там просто написано, что этот оператор переводит любой оператор пространства X в нулевой оператор пространства Y.

[Brukvalub]

romanovski в сообщении #1460494 писал(а):

Значит он выглядит иначе, но в интернете я не смог найти информации, там просто написано, что этот оператор переводит любой оператор пространства X в нулевой оператор пространства Y.

Для того, кто привык, что за него всегда думает интернет, сейчас разыгрывается трагедия! Это-ж-надо, супостаты забыли заботливо выложить в интернет матрицу нулевого оператора!
Тут еще вопрос подвернулся: а что это такое - матрица линейного оператора?

[arseniiv]

romanovski
Нулевой оператор умножает любой вектор на ноль; это частный случай скалярного оператора, умножающего любой вектор на одинаковое число $a$. У такого оператора, стало быть, любой вектор собственный с одним и тем же собственным значением $a$ — прямо по определению. Так что базис собрать будет из чего.

[nnosipov]

По сложности тема "нулевой оператор" может сравниться разве что с темой "тождественный оператор". Особенно страшны эти две темы на экзамене: вопросы типа "чему равен ранг нулевого оператора" или "каково ядро тождественного" способны вынести по пол-группы каждый. Разговор про собственные векторы лучше вообще не затевать, ибо не ответит никто. Вот так и живем. А интернет молчит, скрывает правду, злодей.

[Someone]

romanovski в сообщении #1460494 писал(а):

Я уже говорил, что в моем понимании это обычная нулевая матрица, но она не подходит под определение.

Под какое "определение"?

Вы поймите, сейчас все ломают головы, как бы Вам помочь. По правилам форума, сообщать Вам полное решение нельзя. А тут "полное решение" такое, что сообщить его "не полностью" крайне затруднительно. Поэтому все делают "туманные намёки" на определение матрицы линейного оператора. А Вы упираетесь, ссылаясь на какое-то "определение".