Доказательство леммы Адамара

[rancid_rot]

В доказательстве написано:
Пусть $f(0)=0$.
Тогда $f(x^{1},...,x^{m})=\int\limits_{0}^{1} \frac{df(tx^{1},...,tx^{m})}{dt}dt=\sum\limits_{i=1}^{m}x^{i}\int\limits_{0}^{1}\frac{\partial f}{\partial x^{i}}(tx^{1},...,tx^{m})dt$.
Вспоминаю правило дифференцирования сложной функции нескольких переменных
$\frac{df(u^{1}(x),...,u^{m}(x))}{dx}=\sum\limits_{i=1}^{m}\frac{\partial f(u^{1},...,u^{m})}{\partial u^{i}}\frac{du^{i}}{dx}$.
Почему в доказательстве $\frac{\partial f}{\partial x^{i}}$, а не $\frac{\partial f}{\partial tx^{i}}$?

[pogulyat_vyshel]

потому, что производная берется по аргументу, а аргумент исходно обозначался $x^i$

[rancid_rot]

pogulyat_vyshel в сообщении #1460354 писал(а):

потому, что производная берется по аргументу, а аргумент исходно обозначался $x^i$

Не совсем понял, что вы имеете в виду...
Насколько я понимаю, в данном случае $tx^{i}=u^{i}$. А $t$ из доказательства теоремы есть $x$ из правила дифференцирования.

[pogulyat_vyshel]

перечитайте теорему о дифференцировании композиции функций тогда

[ewert]

rancid_rot в сообщении #1460361 писал(а):

Насколько я понимаю, в данном случае $tx^{i}=u^{i}$.

Правильно понимаете. Осталось только продифференцировать $u$ по $t$.

А вот чего Вы явно не понимаете -- так это что не имеет значения, какими буковками обозначены аргументы функции нескольких переменных. Важны лишь позиции, в которых стоят эти аргументы.

[rancid_rot]

ewert в сообщении #1460368 писал(а):

Осталось только продифференцировать $u$ по $t$.

И получим $x^{i}$, который стоит между суммой и интегралом в выражении $\sum\limits_{i=1}^{m}x^{i}\int\limits_{0}^{1}\frac{\partial f}{\partial x^{i}}(tx^{1},...,tx^{m})dt$.

[ewert]

rancid_rot в сообщении #1460372 писал(а):

в выражении $\sum\limits_{i=1}^{m}x^{i}\int\limits_{0}^{1}\frac{\partial f}{\partial x^{i}}(tx^{1},...,tx^{m})dt$.

Так, выскажусь конкретнее. В последнем выражении под производными по $x_i$ стандартно понимаются производные в предположении, что аргументами были именно $x_i$. А что там в каждый конкретный момент в эти позиции подставляется -- дело уже глубоко следующее. Оно всё подставляется уже после дифференцирования.

[rancid_rot]

ewert в сообщении #1460376 писал(а):

В последнем выражении под производными по $x_i$ стандартно понимаются производные в предположении, что аргументами были именно $x_i$. А что там в каждый конкретный момент в эти позиции подставляется -- дело уже глубоко следующее.

То есть $x^{i}$ после знака суммы и в выражении $\partial x^{i}$ это разные вещи? И во втором случае он просто означает индекс аргумента, по которому производится дифференцирование?

[ewert]

Да. Считайте, что совпадение внизу и на данный момент в аргументах -- всего лишь случайное совпадение.

Ну то, что обозначения не вполне удачны и могут сбивать с толку -- уже другой вопрос.

[rancid_rot]

ewert в сообщении #1460385 писал(а):

Да. Считайте, что совпадение внизу и на данный момент в аргументах -- всего лишь случайное совпадение.

Ну то, что обозначения не вполне удачны и могут сбивать с толку -- уже другой вопрос.

Понял, спасибо.