задание формы объёма с помощью метрики

[nckg]

Пусть на многообразии задана метрика $g_{ij}$. С помощью неё вводим форму объёма
$\Omega=\sqrt{|g|} dx^1\wedge \dots \wedge dx^n$, где $g=\det (g_{ij})$

Но такая конструкция является формой объёма только если мы ограничимся заменами координат с положительным якобианом $\frac{Dx'}{Dx}>0$, а в определении формы объёма никакого ограничения на знак этого якобиана нет. Вопрос: есть ли в этом какая-то опасность (например, неинвариантность действия относительно замены $x_1\to-x_1$) и как тогда с этим бороться?

[zoo]

nckg писал(а):

Пусть на многообразии задана метрика $g_{ij}$. С помощью неё вводим форму объёма
$\Omega=\sqrt{|g|} dx^1\wedge \dots \wedge dx^n$, где $g=\det (g_{ij})$

Но такая конструкция является формой объёма только если мы ограничимся заменами координат с положительным якобианом $\frac{Dx'}{Dx}>0$, а в определении формы объёма никакого ограничения на знак этого якобиана нет. Вопрос: есть ли в этом какая-то опасность (например, неинвариантность действия относительно замены $x_1\to-x_1$) и как тогда с этим бороться?

да, действительно,на самом деле эта "дифференциальная форма" является аксиальным тензором веса 0, таких объектов в геометрии много, если Вы не собираетесь дифференцировать этот объект то сложностей никаких нет, замены координат можно делать любые при этом закон преобразования $\Omega$ от тензорного может отличаться только знаком, поэтому если получите отрицательный объем, то просто смените знак

[nckg]

Спасибо за ответ! Но насчёт инвариантности действия я пока не до конца разобрался... Получается, что когда мы говорим "действие инвариантно относительно замен координат" мы тоже рассматриваем только замены с положительным якобианом?