Задача об отрезках

[vryabenko]

arseniiv
спасибо. Почему по Y больше, а не по X?

Если A[0;0], то согласно рисунку видно, что точки B и C имеют отрицательный Y (особенно, если точка Dx=0)

Рисунок взят из автокада с реальными координатами

[Pphantom]

vryabenko в сообщении #1460136 писал(а):

По поводу правдоподобности. Это реальные размеры на картинке.

Посмотрите еще раз внимательно на то, что написали выше:

vryabenko в сообщении #1460131 писал(а):

Ax=0
Bx=0
Dx=0

Из этого следует, что точки A,B,D лежат на одной прямой.

Возможно, конечно, что ошибка именно тут, а не в системе, которую вы решаете в MathCAD'е, но...

[arseniiv]

vryabenko в сообщении #1460139 писал(а):

Почему по Y больше, а не по X?

Можно и другие условия записать, мне просто изначально показалось, что такие условия дадут что-то близкое к картинке, а с точностью до пикселя не смотрел.

[vryabenko]

Pphantom в сообщении #1460141 писал(а):

vryabenko в сообщении #1460136 писал(а):

По поводу правдоподобности. Это реальные размеры на картинке.

Посмотрите еще раз внимательно на то, что написали выше:

vryabenko в сообщении #1460131 писал(а):

Ax=0
Bx=0
Dx=0

Из этого следует, что точки A,B,D лежат на одной прямой.

Всё правильно

Это координата X точки D
Ax=0 - координата X точки A
Ay=0 - координата Y точки A

Это ошибка переноса.
В условии MathCad её нет. Я просто не ввожу известные координаты, чтобы уравнение было проще.

Исправил, спасибо.

[vryabenko]

Друзья!

Всем огромное спасибо!

При помощи Wolfram удалось решить эту систему.

Указав большее количество условий, удалось сократить до двух решений, а это очень хорошо!
Даже нашёл условие, при котором решение получилось единственное!

Пошёл по пути решения arseniiv, за что ему отдельное спасибо!

Так как я новичок, подскажите, как у Вас принято плюсы в карму ставить!


Считаю, что тема закрыта!

[kotenok gav]

vryabenko в сообщении #1460192 писал(а):

Так как я новичок, подскажите, как у Вас принято плюсы в карму ставить!

Легко: оформлять формулы правильно.

[arseniiv]

vryabenko в сообщении #1460192 писал(а):

Так как я новичок, подскажите, как у Вас принято плюсы в карму ставить!

Нету возможности, а за спасибо спасибо.

[AlexValk]

Задаем условия расположения точек:
1. $x_A=0, y_A=0$, $y_C=0$. - Это выбор начала координат и оси OX. (Здесь есть произвол - можно и $y_B$ объявить нулем вместо $y_C$, как сделал я, или еще как-либо - скажем ось OY фиксировать, а не OX).
2. $x_A\leq x_B\leq x_C$, $x_1\leq x_2\leq x_3$. - Это порядок расположения точек, учитывающий также ваши слова о том что точки 1,2, 3 лежат ``напротив'' A, B, C.
3. $y_A\leq y_1$, $y_B\leq y_2$, $y_C\leq y_2$ - Это я добавил, на всякий случай, смотря на ваш рисунок, на котором точки 1,2,3 лежат ``по одну сторону'' от точек A, B, C. Хотя явно вы этого и не написали. Поэтому это ограничение, будем считать не обязательным.

Далее, выражаем все 9 расстояний между точками $d_{ij}$ ($i=A,B,C$, $j=1,2,3$) через 9 ``свободных'' переменных $x_B, x_C$, $y_B$, $x_1, x_2, x_3$, $y_1, y_2, y_3$, и строим целевую функцию, выражающую отличие реальных 9-ти расстояний $r_{ij}$ от заданных вами 9 расстояний $R_{ij}$ ($R_{A 1}=0.611$, ..., $R_{C 3}=0,967$).
Я, например, использовал функцию $ F=\sum_{i,j} (R^2_{ij}-r^2_{ij})^2$, которая для численных алгоритмов удобна тем, что не содержит корней (фактически, это многочлен 4-й степени от переменных $x_B, x_C, y_B$, $x_{1,2,3}$, $y_{1,2,3}$ ).
Наконец, запускаем какой-либо численный оптимизатор с учетом ограничений, указанных в п.2 (добавление ограничений из из п3., как оказалось для ваших данных, не меняет результат.)

Я использовал - "Поиск решения", встроенный в MS Excel, что и вам рекомендую. Причина - он базируется на одном из лучших в мире solver-ов, лицензируемым Майкрософт у сторонних разработчиков (по моему опыту он работает заметно качественнее, чем, скажем, оптимизаторы встроенные в Matlab, Mathematica или Maple). Число переменных и ограничений в Excel, я не помню точно - то-ли до 40, то-ли до 100 - это еще меняется от версии к версии Excel, но для вашей задачи это несущественно.

Лучший результат для координат ваших 6-ти точек - это такая конфигурация (пишу 12 знаков после запятой):
$A(0,0)$, $B(0.627743744969, -0.007908503966)$, $C(1.138796719608, 0)$,
$1(-0.024770457468, 0.610497685859)$, $2(0.592389293611, 0.830346268022)$, $3(1,171907998431,0.966432948122)$.
Целевая функция при этом $F_{\min}\approx 1.7\times 10^{-22}$, что соответствует, примерно 11 знаков точности в согласовании полученных 9-ти расстояний с заданными.

При работе алгоритма, возникали другие минимумы, дававшие согласование расстояний с меньшей точностью. Лучший из них - с точностью согласования расстояний примерно 8 знаков после запятой (что, вероятно, в вашей задаче - тоже очень высокая точность). Эта конфигурация точек:
$A(0,0)$, $B(0.68277207, -0.03707246)$, $C(1.22165405, 0)$,
$1(0.05695704, 0.60833945)$, $2(0.63225862, 0.80040554)$, $3(1.17247213,0.96574848)$.
Целевая функция при этом $F_{\min}\approx 1.4\times 10^{-15}$.

Вторая конфигурация геометрически выглядит чуть иначе, чем первая (скажем точки 1 и 3 имеют в ней координаты $x$ соответственно правее и левее, чем у точек A и C, а в первой конфигурации - наоборот. Вероятно, для других данных число решений может быть и больше (а может быть и меньше . )