Несобственный интеграл

[Norma]

$\iiint\limits_{x^2+y^2+z^2 \leq 1} \frac{dxdydz}{(1-x^2-y^2-z^2)^{\alpha}}$

Рассмотрим множество:
$D=\{0 \leq x^2+y^2+z^2 \leq (1-\varepsilon)^2\}$

Тогда исходный интеграл примет вид:

$$\iiint\limits_{x^2+y^2+z^2 \leq 1} \frac{dxdydz}{(1-x^2-y^2-z^2)^{\alpha}}= \lim_{\varepsilon \to 0+}\iiint\limits_{D} \frac{dxdydz}{(1-x^2-y^2-z^2)^{\alpha}}$

Можно ли рассматривать такое множество и так переходить к пределу?

[novichok2018]

Про альфа что-то нужно сказать.

[Norma]

novichok2018
Исследование на сходимость я уже потом сделаю, мне главное разобраться с переходом к пределу.

[novichok2018]

Как к пределу переходить, если интеграл расходится? Но Вам виднее.

[Brukvalub]

От интеграла так несет сферическими координатами, что приходится нос зажимать!

(Оффтоп)

Кстати, это говорит о том, что ковид со мной пока не дружит!

[Otta]

Norma в сообщении #1459929 писал(а):

Исследование на сходимость я уже потом сделаю, мне главное разобраться с переходом к пределу.

Не надо так говорить. Эта фраза значит, что Вы не знаете (вернее, похоже, не до конца осознали), что такое сходимость интеграла в многомерном случае и как на нее исследовать. А так все ничего. И $D$ - не множество, а набор множеств, Вам не кажется?

[Norma]

Otta
Почему набор? Насколько я знаю, исчерпание $D_n$ строится для бесконечной области.

[Otta]

Norma
А разве это одно множество?

Norma в сообщении #1459978 писал(а):

Насколько я знаю, исчерпание $D_n$ строится для бесконечной области.

Нет, Вы заблуждаетесь.

[novichok2018]

Хороший справочник по подобным интегралам - разделы трёхмерные и многомерные интегралы в Прудников, Брычков, Маричев, Интегралы и ряды, том 1, на 500х страницах. И наш товарищ там тоже есть, даже в многомерном случае и с правильным ограничением на параметр, на с. 589.
Это если интересно, что вокруг, а просто посчитать - конечно сферические координаты.

[Otta]

novichok2018
Не читала Прудникова и др. Но. Для нашего товарища и т.п. вполне нормальна след. постановка задачи: найти все значения параметра, при которых интеграл сходится (не берется же ограничение ниоткуда), и найти интеграл при этих значениях параметра. И ТС этот раздел анализа, судя по словам, которые он знает, изучал. Но не достаточно досконально изучил. Осталась малость.

[Norma]

Otta
Тогда множество $D_n=\{0 \leq x^2+y^2+z^2 \leq (1- \frac{1}{n})^2\}$

[Otta]

Сгодится.