Нелинейные рекуррентные последовательности

[Geroa]

Добрый день!

Рассмотрим рекурсию третьего порядка

$$A(n)u_{n+1} + B(n)u_n + C(n)u_{n-1} = 0,$$

где $A,B,C \in \mathbb{Z}[x]$

Какая существует теория для решения подобных уравнений?

Известны яркие примеры, например, последовательность

$$u_n = \int_{[0,1]^2}\frac{x^n(1-x)^ny^n(1-y)^n}{(1-xy)^{n+1}}dxdy$$

удовлетворяет такому уравнению с $A(x) = (x+1)^2, \;B(x) = 11x^2+11x+3, \;C(x) = -x^2$.

Ясно, что для любой такой рекурсии можно в общем виде записать диффур, который соответствует производящей функции для $u_n$.
И есть ощущение, что получиться должно что то около гипергеометрическое (к слову, в указанном примере так и происходит), но даже шатание свободных членов в A,B,C непонятно к чему приводит...

P.S. Я пытался гуглить, есть разные статьи, но в целом ничего нормального не нашел.

Спасибо!

[novichok2018]

Есть замечательная книга про суммирование и применение подобных рекурсий с кратким названием $A=B$. Соответствующий метод по суммированию последовательностей и гипергеометрических функций на основе подбора для них рекурсий в разных вариантах ищется по ключевым словам: Wilf-Zeilberger method, Gosper algorithm и тд. Посмотрите в инете, может поможет. Общего метода как в линейном случае нет. Мне кажется, он даже для квадратичных коэффициентов неизвестен, может ошибаюсь.