Правильное определение нормы оператора

[starper]

Здравствуйте! Смотрел определения нормы линейного оператора, и в разных источниках ее определения отличаются.
В учебнике Колмогорова и Фомина и еще паре источников такое определение: $\left\lVert L \right\rVert = sup_{\parallel x\parallel\leqslant1} \parallel L(x)\parallel$. В нескольких других источниках немного другое определение: $\left\lVert L \right\rVert = sup_{\parallel x\parallel=1} \parallel L(x)\parallel$. Потом из этого выводится почти во всех источниках равносильное определение: $\left\lVert L \right\rVert = sup_{\parallel x\parallel \ne0} \frac{\parallel L(x)\parallel}{\parallel x\parallel}$. При чем в Колмогорове Фомине в доказательстве равносильности используется, что $\frac{x}{\parallel x\parallel}$ принадлежит единичной сфере, но зачем тогда в определении брать супремум по единичному шару? Как мне кажется, если брать супремумы по единичному шару и единичной сфере, то они будут равны, или я не прав?

[Otta]

Ну если бы они в данном случае не были равны, норму бы не определяли и так, и эдак.

[starper]

Otta в сообщении #1459855 писал(а):

Ну если бы они в данном случае не были равны, норму бы не определяли и так, и эдак.

А в чем смысл в определении добавлять, грубо говоря, лишние вектора?

[pogulyat_vyshel]

starper в сообщении #1459856 писал(а):

А в чем смысл

очевидно в том, чтоб слабые студенты поломали себе голову над этим

[novichok2018]

Мало ли такого. Например, в том же Колмогорове Фомине и других хороших книгах требуют неотрицательность нормы и метрики, что излишне. Или коммутативность сложения в аксиомах линейного пространства, что тоже излишне. Это традиция. При первоначальном обучении некоторая избыточность в аксиомах и определениях упрощает понимание, не надо её стесняться . Кому надо - потом узнают, что можно отбросить.

[starper]

novichok2018
Спасибо за разъяснение, просто в первый раз на моей памяти встречаюсь с таким. Кстати, а почему, например, коммутативность сложения лишняя?

[arseniiv]

О, занятная вещь, не подозревал.

starper в сообщении #1459861 писал(а):

Кстати, а почему, например, коммутативность сложения лишняя?

Покажите через дистрибутивность такую и сякую, что $x + x + y + y = x + y + x + y$, ну и дальше ясно.

Вообще понятно, зачем она постулируется: тогда вся первая половина аксиом означает, что относительно сложения векторы — абелева группа, а вторая половина аксиом в целом говорит, что задан морфизм из кольца скаляров в кольцо эндоморфизмов этой абелевой группы. Если же выкинуть аксиому коммутативности, мы просто не сможем сформулировать смысл второй половины так коротко, потому что у неабелевой группы эндоморфизмы не образуют кольцо. Можно попробовать говорить о морфизме почти-колец (в которых коммутативность сложения не требуется) из скаляров в эндоморфизмы, но там придётся договаривать недостающие у почти-колец аксиомы — и всё ради того, чтобы не требовать коммутативность сложения. Нет уж, неудобно.

[starper]

arseniiv в сообщении #1459904 писал(а):

Покажите через дистрибутивность такую и сякую, что $x + x + y + y = x + y + x + y$, ну и дальше ясно.

Вы имеете в виду, что выражение $(1+1)(x+y)$ можно раскрыть либо применяя сначала дистрибутивность относительно сложения скаляров, потом относительно сложения векторов, либо наоборот? Может быть для этого и нужна коммутативность относительно сложения, чтобы эти последние две аксиомы были определены корректно, то есть результат не зависел от порядка действий?

[arseniiv]

Не нужна (ну вы же наверно проделали выкладки и убедились, что всё получается), и аксиомы не могут быть «определены корректно», они просто есть. Они могут быть например противоречивыми, но добавление ещё одной аксиомы противоречивости убрать не может никогда.

-- Пн май 04, 2020 00:01:58 --

А причину, по которой коммутативность удобно иметь, я указал: естественная короткая формулировка для аксиом с коммутативностью, ну и вообще удобство, как например бы мы определили кольцо [без единицы], а потом при определении кольца с единицей нам вдруг выкидывать из аксиом ставшую ненужной коммутативность сложения (по той же причине)? Неее. Это же будет совершенно бессмысленный шаг.

[ewert]

starper в сообщении #1459854 писал(а):

В учебнике Колмогорова и Фомина и еще паре источников такое определение: $\left\lVert L \right\rVert = sup_{\parallel x\parallel\leqslant1} \parallel L(x)\parallel$. В нескольких других источниках немного другое определение: $\left\lVert L \right\rVert = sup_{\parallel x\parallel=1} \parallel L(x)\parallel$. Потом из этого выводится почти во всех источниках равносильное определение: $\left\lVert L \right\rVert = sup_{\parallel x\parallel \ne0} \frac{\parallel L(x)\parallel}{\parallel x\parallel}$.

Они, естественно, все равносильны, и тривиально равносильны. Однако последнее -- наиболее идейно: норма -- это максимально возможный коэффициент увеличения вектора под действием оператора. Второй вариант формально лаконичнее, но идейно хуже. Первый -- хуже всего: при чём тут шар-то?

Есть и четвёртый: $\|L\|=\min\{C\colon{\forall\vec x}\;\|L\vec x\|\leqslant C\|\vec x\|\}$. Его преимущество в том, что здесь явно задействуется определение ограниченности оператора (которое должно идти перед определением его нормы). Недостаток -- в том, что достижимость минимума надо доказывать. В любом случае этот вариант тоже надо иметь в виду.

[novichok2018]

Про коммутативность: нужно сначала доказать равенство $-x=(-1)x$, то есть, что противоположный элемент равен прямому, умноженному на скаляр минус единица. Потом перенести в свойстве коммутативности всё в одну сторону, и тогда сразу.
Я уже забыл - но кажется подобная задача была поставлена в начале 20 века каким-то известным математиком, насколько можно уменьшить число аксиом линейного пространства. Есть работы по теме.
Про положительность нормы и метрики: не знаю, зачем требуют, наверное по инерции и просто не задумываются.

[ewert]

novichok2018 в сообщении #1460097 писал(а):

Про положительность нормы и метрики: не знаю, зачем требуют, наверное по инерции и просто не задумываются.

Просто потому, что строгая положительность идейна, и её надо подчёркивать. А то, что её можно ещё и вывести из минимально возможного количества аксиом -- никому не нужное извращение.

[novichok2018]

Я не считаю что это извращение. И вывести можно не из некоторых других аксиом, а из оставшихся стандартных. Полезное знание, но необязательное при первоначальном обучении.

[ewert]

1) не знание, а умение; 2) не необязательно, а вредно.

Уметь доказывать -- конечно, полезно, но уже в десятую очередь. А в первую очередь -- в момент определения -- надо зафиксировать вещи принципиальные.

[arseniiv]

Минимизация-то числа аксиом X может быть полезна, чтобы было проще доказывать, что некоторая штука — это X, но тут надо поправить, что не минимизация per se, а значительное ослабление (кажущееся). А то любое конечное число аксиом можно превратить в одну конъюнкцией.

Далее, например, иногда желают формулировать неравенство треугольника так: $d(x, y) \leqslant d(x, z) + d(y, z)$ и потом выводят из него и первой аксиомы симметричность метрики: $d(x, y) \leqslant d(x, x) + d(y, x) = d(y, x)$ (и так как замена $x\mapsto y, y\mapsto x$ даёт неравенство в обратную сторону, $d(x, y) = d(y, x)$). Вот я бы назвал подобные вещи весьма сомнительно полезными для пользы даже для области reverse mathematics, потому что это же не логика, а уже прикладные результаты рассматриваются, и там будет наивероятнейше ничуть не труднее доказать симметричность и нормальное неравенство треугольника, чем модифицированное. Точно так же убирание коммутативности сложения из кольца с единицей или модуля довольно сомнительно с точки зрения большей лёгкости доказательства «это кольцо с единицей» или «это модуль».