Общее решение дифференциального уравнения

[fluriadius]

Вроде бы пример относительно школьный, но я, как ничего не понимал в дифференциальных уравнениях, так, судя по всему, не пойму. Помогите хотя бы с этим примером.
Нужно найти общее решение дифференциального уравнения.
$\frac{dy}{dt}=\frac{A}{kt+b}-c\cdot\sin(\omega t+ \varphi)$
Так как нужно как-то предоставить попытки решить, то вот определение Дифференциа́льное уравне́ние — уравнение, в которое входят производные функции, и может входить сама функция, независимая переменная и параметры.
В принципе, смутное представление о производных у меня есть, но нечто, где совершенно нет никаких чисел вводит меня в ужас.
Какой первый шаг? Взять две части под интеграл?

[Mikhail_K]

fluriadius в сообщении #1459635 писал(а):

Нужно найти общее решение дифференциального уравнения.
$\frac{dy}{dt}=\frac{A}{kt+b}-c\cdot\sin(\omega t+ \varphi)$
...
Какой первый шаг? Взять две части под интеграл?

А что, действительно уравнение именно такое? Без $y$ в правой части?
Тогда да, проинтегрировать обе части по $t$ (и не забыть "плюс константу" в неопределённом интеграле) и это будет ответ.
Потому что спрашивается: найти все функции $y(t)$, для которых производная $\frac{dy}{dt}$ равна правой части. То есть - найти все первообразные правой части. То есть - найти неопределённый интеграл правой части.
Странно задание выглядит.

-- 02.05.2020, 19:19 --

fluriadius в сообщении #1459635 писал(а):

Так как нужно как-то предоставить попытки решить, то вот определение Дифференциа́льное уравне́ние — уравнение, в которое входят производные функции, и может входить сама функция, независимая переменная и параметры.

Дело не в попытках. Дело в том, зачем Вам помощь в примере, если Вы не собираетесь ничего понимать в дифференциальных уравнениях.

[fluriadius]

Mikhail_K в сообщении #1459640 писал(а):

А что, действительно уравнение именно такое? Без $y$ в правой части?
Тогда да, проинтегрировать обе части по $t$

Без $y$ в правой части. И как сделать это интегрирование по $t$ ? Типо в обычном уравнении он был бы иксом, да?

Mikhail_K в сообщении #1459640 писал(а):

Дело в том, зачем Вам помощь в примере, если Вы не собираетесь ничего понимать в дифференциальных уравнениях.

Я пытался понять высшую математику множество раз, но из раза в раз у меня ничего не выходило. Это последний пример, делящий мою жизнь на "мучительное существование с математикой" и "счастливую жизнь без математики".

[Mikhail_K]

fluriadius в сообщении #1459642 писал(а):

Типо в обычном уравнении он был бы иксом, да?

Да.
Если нужна помощь в том, как интегрировать - с Вас попытки решения.

[fluriadius]

Mikhail_K в сообщении #1459645 писал(а):

Да.
Если нужна помощь в том, как интегрировать - с Вас попытки решения.

Так, хорошо, только я не понимаю, что делать в левой части.
$\int\frac{dy}{dt}=A\int\frac{dt}{kt+b} - c\int\sin(\omega t+\varphi)dt+C$
Мы же принимаем буквы за числа? Или как? Вот написано начало, оно верно? И что делать с левой стороны?

[Mikhail_K]

Mikhail_K в сообщении #1459640 писал(а):

Потому что спрашивается: найти все функции $y(t)$, для которых производная $\frac{dy}{dt}$ равна правой части. То есть - найти все первообразные правой части. То есть - найти неопределённый интеграл правой части.

Это значит: $y(t)$ равно неопределённому интегралу от правой части. Всё. Можно сразу так записать и искать неопределённый интеграл правой части.

Можно и так, как Вы, но это будет чуть-чуть подольше (надо будет не забыть $dt$ в левом интеграле, и вспомнить, чему равен неопределённый интеграл от производной, и ещё подумать, что делать с двумя константами в левой и правой части и почему их нельзя просто взять и сократить друг с другом). Не хотите с этим "заморачиваться" - не надо, смотрите выше. Если цитата выше непонятна, вспомните, что такое первообразная и что такое неопределённый интеграл.

С правой стороны всё верно, но пока у Вас там стоят интегралы, константу можете не писать (она уже в этих интегралах "сидит"). Вот когда интегралы раскроете, тогда константу и запишете. Впрочем, и так как Вы написали тоже можно, ошибки никакой нет.

[fluriadius]

Mikhail_K в сообщении #1459650 писал(а):

Это значит: $y(t)$ равно неопределённому интегралу от правой части. Всё. Можно сразу так записать и искать неопределённый интеграл правой части.

$y(t)=A\int\frac{dt}{kt+b}-c-\cos(\omega t+\varphi)+C$
Так пока верно? И что делать с этим $kt+b$ в первом интеграле? Как его под таблицу интегралов подогнать?

[Mikhail_K]

fluriadius в сообщении #1459654 писал(а):

Так пока верно?

Нет, неверно. Ищите "линейная замена переменных в неопределённом интеграле". Для нахождения обоих интегралов в правой части. С левой частью всё нормально.

[fluriadius]

Mikhail_K в сообщении #1459656 писал(а):

Ищите "линейная замена переменных в неопределённом интеграле".

Я не совсем понимаю. Для упрощения я вырвал $A\int\frac{dt}{kt+b}$ из контекста. Теперь я написал $kt+b=m$ и вышло, что $A\int\frac{dm}{m}=A\cdot \ln\left\lvert m\right\rvert+C=A\cdot \ln\left\lvert kt+b\right\rvert+C$ Но это ведь неправильно, да? Я не совсем понимаю тех действий, которые в различных обучениях делают после предпоследнего преобразования. Во-первых, там всё по-разному, а во-вторых, там числа. Что нужно делать после интегрирования замены?

-- 02.05.2020, 21:45 --

Mikhail_K
Вроде бы понял и решил
$y(t)=\frac{A\cdot\ln\left\lvert kt+b\right\rvert}{k}+\frac{c\cdot\cos(\omega t+\varphi)}{\omega}+C$

[Mikhail_K]

fluriadius в сообщении #1459671 писал(а):

Вроде бы понял и решил
$y(t)=\frac{A\cdot\ln\left\lvert kt+b\right\rvert}{k}+\frac{c\cdot\cos(\omega t+\varphi)}{\omega}+C$

Да, верно.