Оператор простого типа или нет?

[romanovski]

$\frac{\frac{\frac{}{}}{}}{}$Здравствуйте, имеется матрица линейного оператора и необходимо найти собственные векторы и собственные значения, а также проверить, является ли данный оператор оператором простого типа или нет.

$A = \begin{pmatrix} 1 & 7 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 2 & 3 & 4 \end{pmatrix}$

Собственно сами собственные значения и векторы я нашел, но не смог полностью доказать вид оператора

То есть, $\lambda_1 = 0, \lambda_2 = 1, \lambda_3 = 5 $ - собственные значения

Собственные векторы :
$ $x_1 = c_1 $\cdot$ (-2; 0 ; 1); $
$ $x_2 = c_2 $\cdot$ (- 15/14, -2/7, 1); $
$ $x_3 = c_3 $\cdot$ (1/2, 0 , 1); $

Если мы выберем по одному вектору из собственных и составим матрицу их координат, то получим

B = $\begin{pmatrix} -2 & -15/14 & 1/2 \\ 0 & -2/7 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$

$rangB = 3$

Однако, если мы составим матрицу в базисе из собственных векторов, то мы получим матрицу, ранг которой уже равен 2, а не 3.Определитель этой матрицы также равен нулю.


$ C = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \end{pmatrix} $

В итоге, не могу понять, будет ли мой оператор оператором простого типа или нет, если по идее векторы собственные независимы, однако матрица в базисе из собственных векторов имеет ранг 2.

[Brukvalub]

romanovski в сообщении #1459504 писал(а):

В итоге, не могу понять, будет ли мой оператор оператором простого типа или нет, если по идее векторы собственные независимы, однако матрица в базисе из собственных векторов имеет ранг 2.

Разве есть т. о том, что только невырожденные операторы могут иметь простую структуру?

[romanovski]

Brukvalub

Такой теоремы, как понимаю нет. То есть главное - линейная независимость собственных векторов, а матрица в базисе из собственных векторов может быть вырожденной? Я правильно понял?

[nnosipov]

romanovski
Вы просто посмотрите определение оператора простого типа. Там есть какие-то ограничения на ранг оператора?

[Brukvalub]

romanovski в сообщении #1459525 писал(а):

Такой теоремы, как понимаю нет. То есть главное - линейная независимость собственных векторов, а матрица в базисе из собственных векторов может быть вырожденной? Я правильно понял?

Я правильно понял, что есть и иные способы меня понять? Вот нулевой оператор - он простого типа?

[romanovski]

nnosipov

Определение ещё раз посмотрел, но ограничений там никаких нет. Тогда я могу не обращать внимание на ранг 2 получившейся у меня матрицы в базисе из собственных векторов и просто указать, что у меня оператор простого типа.

-- 02.05.2020, 13:43 --

Brukvalub


Нулевой оператор, как я думаю, не является оператором простого типа.

[nnosipov]

romanovski
Конечно. Есть определение, мы им руководствуемся, и все.

[Brukvalub]

romanovski в сообщении #1459545 писал(а):

Нулевой оператор, как я думаю, не является оператором простого типа.

[nnosipov]

Brukvalub
У него оператор простого типа --- это оператор с простым спектром (мне думается). А что еще может быть?

[Brukvalub]

nnosipov в сообщении #1459553 писал(а):

Brukvalub
У него оператор простого типа --- это оператор с простым спектром (мне думается). А что еще может быть?

Еще в некоторых учебниках так называют операторы с диагонализируемой матрицей. Давайте спросим у ТС, какое ему давали определение оператора простого типа.

[nnosipov]

Согласен, надо уточнить.

[romanovski]

nnosipov


Эта тема была лишь частично затронута на семинаре, поэтому точного определения я назвать не смогу. Но вот такое, как мне кажется, больше всего подходит:

Линейный оператор, действующий в линейном пространстве, называют оператором простого типа, если в данном линейном пространстве существует базис, состоящий из собственных векторов этого оператора.


Brukvalub
Возможно, что я ответил неправильно, но тогда не могу понять, а как три нулевых вектора могут образовывать базис линейного пространства $V_3$?


P.S. Я был удивлен, когда обнаружил такое большое количество похожих терминов в данной теме - оператор простой структуры, простого типа, простого спектра.

[nnosipov]

romanovski в сообщении #1459600 писал(а):

Линейный оператор, действующий в линейном пространстве, называют оператором простого типа, если в данном линейном пространстве существует базис, состоящий из собственных векторов этого оператора.

Ежели так, то моя гипотеза (о Вашем понимании термина "оператор простого типа") неверна. Соответственно, Ваш ответ на вопрос Brukvalub тоже неверен.

Вообще, это очень плохо --- не знать точный смысл используемых терминов.

-- Сб май 02, 2020 22:29:22 --

romanovski в сообщении #1459600 писал(а):

а как три нулевых вектора могут образовывать базис линейного пространства $V_3$

Никак, разумеется. Но как Вы умудрились узреть эти три нулевых вектора? Где Вы их откопали? (Я подозреваю где, но не скажу.)

-- Сб май 02, 2020 22:31:45 --

romanovski в сообщении #1459545 писал(а):

Определение ещё раз посмотрел

romanovski в сообщении #1459600 писал(а):

точного определения я назвать не смогу

Как это совместить?

[Brukvalub]

romanovski в сообщении #1459600 писал(а):

P.S. Я был удивлен, когда обнаружил такое большое количество похожих терминов в данной теме - оператор простой структуры, простого типа, простого спектра.

Именно поэтому я при чтении лекций говорю о "диагонализируемом операторе".
Например, профессор А.В. Архангельский называет такие операторы "богатыми".
Требование, чтобы оператор имел только однократные собственные значения, на мой взгляд, не совсем естественно и не выделяет какого-то важного в общей теории класса операторов. А вот наличие базиса из собственных векторов выделяет естественный класс наиболее просто устроенных лин.операторов. Поэтому это требование изучается во всех курсах линейной алгебры.

[iifat]

romanovski в сообщении #1459504 писал(а):

матрица в базисе из собственных векторов имеет ранг 2

Нулевое собственное число как раз таки и означает равенство нулю определителя. Ну а коли уж у матрицы $3\times 3$ ранг 2, то и в любом базисе трёхмерного пространства он таки будет двойкой, не?