Доказательство эквивалентности нормальности матрицы

[Saxartur]

Пусть $A=(a_{ij})$ - комплексная матрица со спектром $\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_n$, доказать, что следующее условие равносильно нормальности $A$ :

$\sum_{ij}{|a_{ij}|^2}=\sum_i{|\lambda_i|^2}$

Слева направо, доказывается в принципе не сложно:

Допустим, что $A$ - нормальная, тогда $A=UDU^*$, где $D$ - диагональная, $U$ - унитарная. Так же заметим, что $\operatorname{tr}(AA^*)=\sum_{ij}{|a_{ij}|^2}$, это легко проверяется непосредственно. С другой стороны : $\operatorname{tr}(AA^*)=\operatorname{tr}(UDU^*(UDU^*)^*)=\operatorname{tr}(UDU^*UD^*U^*)=\operatorname{tr}(UD'U^*)$, где $D'=\operatorname{diag}(|\lambda_1|^2,|\lambda_2|^2,|\lambda_3|^2\ldots)$.

Т.к. след подобных матриц одинаковый, то $\sum_{ij}{|a_{ij}|^2}=\operatorname{tr}(AA^*)=\operatorname{tr}(UD'U^*)=\operatorname{tr}(D')=\sum_i{|\lambda_i|^2}$

Вот с доказательством справа налево есть проблемы, за что тут можно зацепиться ?

Так же уточню, что вместе с этим заданием предлагалось доказать, что если $A^*$ - многочлен от $A$, то это равносильно нормальности $A$, причем это доказывается легко справа налево и довольно несложно слева направо, допустим через тот же интерполяционный многочлен Лагранжа.

Возможно можно построить замкнутую цепочку $\sum_{ij}{|a_{ij}|^2}=\sum_i{|\lambda_i|^2} \Rightarrow$ $A^*$ - многочлен от $A\Rightarrow~A$ - нормальная $\Rightarrow\sum_{ij}{|a_{ij}|^2}=\sum_i{|\lambda_i|^2}$, но это мне так же сделать не удалось

[g______d]

Проще всего использовать приведение к верхнетреугольной матрице унитарным преобразованием.

Попробуйте сами доказать или ищите по ключевым словам "Schur’s Unitary Triangularization Theorem".

Легко видеть, что матрица нормальна титтк её верхнетреугольная форма (в вышеуказанном смысле) является диагональной. С другой стороны, на диагонали этой формы будут собственные значения исходной матрицы.

[Евгений Машеров]

А так? Приводим матрицу к жордановой форме ортогональными преобразованиями. Левая часть равенства не меняется численно, становясь равной сумме квадратов собственных значений плюс единички из жордановых клеток. Если равенство выполняется - все жордановы клетки размером 1.

[g______d]

Евгений Машеров в сообщении #1459109 писал(а):

Приводим матрицу к жордановой форме ортогональными преобразованиями.

Ортогональными?

[Saxartur]

g______d в сообщении #1459015 писал(а):

Проще всего использовать приведение к верхнетреугольной матрице унитарным преобразованием.

Попробуйте сами доказать или ищите по ключевым словам "Schur’s Unitary Triangularization Theorem".

Легко видеть, что матрица нормальна титтк её верхнетреугольная форма (в вышеуказанном смысле) является диагональной. С другой стороны, на диагонали этой формы будут собственные значения исходной матрицы.

Да, с помощью этого действительно легко доказывается, спасибо