Orange писал(а):
Необходимо перейти к функции комплексной переменной, которая на действительной оси даст нечто похожее на исходную функцию, проблема возникает в том, как выбрать эту функцию к.п.


Для функции

оставим ее стандартный разрез
![$(-\infty,0]$ $(-\infty,0]$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/8/8/c889590104be3ba29df8e0f77d56213e82.png)
; тогда пройдя от области

ее знаков

по часовой на угол

попадем в область
под разрезом со знаками

, а пройдя против часовой на

попадем в область
над разрезом со знаками

.
А для функции

выберем разрез
![$(-\infty,1]$ $(-\infty,1]$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/2/9/d2943ae4b5c4d95a3754821172d32dc682.png)
, повернув ее стандартный разрез

в верхней полуплоскости; тогда
![$(-\infty,1]$ $(-\infty,1]$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/2/9/d2943ae4b5c4d95a3754821172d32dc682.png)
, бывшая областью ее знаков

, останется таковой и
под новым разрезом, а
над новым разрезом (пройдя против часовой на угол

) станет область ее знаков

.
Эти разрезы, при переходе через которые функции лишь меняют знак, в произведении

на
![$(-\infty,0]$ $(-\infty,0]$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/8/8/c889590104be3ba29df8e0f77d56213e82.png)
компенсируют друг друга, оставляя разрезом отрезок
![$[0,1]$ $[0,1]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/c/f/acf5ce819219b95070be2dbeb8a671e982.png)
. На этом отрезке, под ним знак произведения

будет

, как у вещественной функции

, а над ним, знак

.
При интегрировании вычета разреза, контур примыкающий вплотную к разрезу обходит его стандартно против часовой, значит под разрезом знак функции

и

будет

, а над разрезом их знак

. Поэтому, контурный интеграл даст удвоенный вещественный.
Перемещая контур с разреза, через неособую точку на бесконечности (где

конечна), на контур вокруг полюса

(контур меняет ориентацию!), находим контурный интеграл через вычет:

.
Необходимо будет вычислить значение комплексной функции

с разрезом
![$[0,1]$ $[0,1]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/c/f/acf5ce819219b95070be2dbeb8a671e982.png)
в точке

. В области

ее знак равен

, а в области
![$(-\infty,0]$ $(-\infty,0]$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/8/8/c889590104be3ba29df8e0f77d56213e82.png)
- наш случай (

), ее знак

.
При

вычет в

под разрезом и в

над разрезом даст равные величины с разными знаками, значит, контурный интеграл в главном значении даст нуль. При

вещественный интеграл дает бета-функцию.