Доказательство теоремы

[Cap]

Помогите разобраться с доказательство теоремы. Я начал рассматривать доказательство первой леммы и пояился вопрос в случае $B$. Почему $y'(x)=\frac{x^{p-1}-z^{p-1}}{z^{p-1}-y^{p-1}}$ и $z'(x)=\frac{x^{p-1}-y^{p-1}}{y^{p-1}-z^{p-1}}$?
Если вы тоже как и я не понимаете, может поможите рассмотреть частынй случай?

[mihaild]

Там же в предыдущей строчке два линейных уравнения на $y'$ и $z'$, попробуйте выразить производные из этих уравнений.

[Cap]

Точно, спасибо!

[Cap]

А вот в Proposition 1.2 почему $F'\geq 0$?

[Cap]

Пусть $0\leq x\leq y\leq z$, и $g(x)=f(x^\frac{1}{x^{p-1}})$ строго выпукла на интерваль $(0;\infty)$, и $y'(x)=\frac{x^{p-1}-z^{p-1}}{z^{p-1}-y^{p-1}}$, $z'(x)=\frac{y^{p-1}-x^{p-1}}{z^{p-1}-y^{p-1}}$,
Тогда докажите что $f'(x)+(f(y(x)))'+(f(z(x)))'\geq 0$.

[Lia]

Темы объединены.

Не надо дублировать сообщения.

[Otta]

Cap

Cap в сообщении #1458143 писал(а):

А вот в Proposition 1.2 почему $F'\geq 0$?

Следует, например, из неравенства Йенсена.

[Cap]

Otta в сообщении #1458325 писал(а):

Следует, например, из неравенства Йенсена.

И как вы используете нер-во Йенсена?

[Otta]

Примените сперва к первому и третьему слагаемому. Там веса положительны. Они хорошо складываются.
Нер-во Йенсена применяется, естественно, в другую сторону: сумма значений функций с весами оценивается снизу значением функции от суммы с весами.
Получается хорошая штука, вполне сравнимая с отрицательным вторым слагаемым.

Может, можно и проще. Но с ходу не придумалось.

[Cap]

Там вроде коэффиценты не равны и в сумме не дают один. Объясните чуть подробнее.

[Otta]

Cap в сообщении #1458339 писал(а):

Там вроде коэффиценты не равны и в сумме не дают один.

И что? Равными они быть не обязаны, только положительными, а сумму один всегда можно обеспечить, разделив на нужную константу. Почитайте, пожалуйста, неравенство Йенсена в общем случае, хотя бы в Википедии. В англоязычной наверняка будет. Потом спросите еще, если не разберетесь.

[Cap]

Мне интересно, а у вас самого получилось? Я пока доказательства не вижу.

[Otta]

Да, иначе я не предлагаю.
Другое дело, хочется найти способ красивее.

А доказательство - полный ход решения есть, воспользуйтесь.

[Cap]

У меня нет идей, но я буду рад увидеть ваше доказательство.

[kotenok gav]

Cap в сообщении #1458349 писал(а):

самого

Самой.