допустимо ли такое преобразование

[SPgum]

Здравствуйте уважаемые форумчане!
Возник такой вопрос: имеется нить загруженная собственным весом, уравнение провисания нити описывается определенной функцией (в моем случае уравнением параболы, которое обозначается через $y_{0}(x)$). Затем, нить нагружается внешней нагрузкой, что приводит к появлению дополнительных вертикальных перемещений (прогибов) по длине пролета, которое обозначается через $w(x)$) В ходе промежуточных расчетов появляется вот такая запись

$$ \frac{dy_{0}(x)}{dx}\frac{dw(x)}{dx}$$

Вопрос заключается в следующем, допустимо ли такое преобразование

$$ \frac{dy_{0}(x)}{dx}\frac{dw(x)}{dx}=\int_{0}^{x}\frac{d^2y_{0}(x)}{dx^2}{dx}\frac{dw(x)}{dx}$$

Если это верно, то можно ли подынтегральную функцию заменить кривизной

$$K=\frac{1}{\rho}$$

и вывести из под знака интеграла. Тогда правомочно ли такое сокращение на ${dx}$ в результате которого, получится запись?

$$ \frac{dy_{0}(x)}{dx}\frac{dw(x)}{dx}=K\int_{0}^{x}{dx}\frac{dw(x)}{dx}=K\int_{0}^{x}{dw(x)}=K{w(x)}{?}$$

[Brukvalub]

Нет, нельзя. Сначала нужно выучить формулу для кривизны.

[Утундрий]

Дичайшие танцы с бубном, которые могут дать какое-то приближение к реальности только случайно.

[SPgum]

Благодарю за замечания, но если возможно, очень прошу уточнить два пункта:
1. Что касается кривизны, то в любом учебнике по сопротивлению материалов приводится и обосновывается (в силу пологости т.е стремления первой производной к нулю) линейная формула для кривизны т.е.

$$ \frac{d^2y_{0}(x)}{dx^2}\approx\frac{1}{\rho}$$

Поэтому для первого сомножителе, мой вопрос связан с допустимостью такой записи ?

$$\frac{dy_{0}(x)}{dx}=\int_{0}^{x}\frac{d^2y_{0}(x)}{dx^2}{dx}?$$

Очень прошу ответить допустима такая форма записи или нет?!
2. Вопрос связан с допустимостью сокращения ${dx}$ , стоящем в числителе и знаменателе?
Буду очень признателен, поскольку аналитический и численный (метод конечных разностей) расчеты дают схожие результаты для любого вида нагружения

[Dmitriy40]

Вопрос немного в сторону:

SPgum в сообщении #1458000 писал(а):

в моем случае уравнением параболы,

Уверены что отличия параболы от цепной линии достаточно малы (меньше требуемой точности результата) на всём протяжении и при любой функции нагружения?

[SPgum]

Ну, задачи и методики рассматривались для так называемой гибкой "пологой нити" Ю.В. Гайдаров "Вантовые конструкции" стр.32 и Д.Р. Меркин "Введение в механику гибкой нити" стр.67

[Brukvalub]

SPgum в сообщении #1458072 писал(а):

Поэтому для первого сомножителе, мой вопрос связан с допустимостью такой записи ?

$$\frac{dy_{0}(x)}{dx}=\int_{0}^{x}\frac{d^2y_{0}(x)}{dx^2}{dx}?$$

Интеграл справа восстанавливает первую производную с точностью до константы - ее значения в нуле. Так что запись некорректна.

[SPgum]

Brukvalub в сообщении #1458118 писал(а):

SPgum в сообщении #1458072 писал(а):

Поэтому для первого сомножителе, мой вопрос связан с допустимостью такой записи ?

$$\frac{dy_{0}(x)}{dx}=\int_{0}^{x}\frac{d^2y_{0}(x)}{dx^2}{dx}?$$

Интеграл справа восстанавливает первую производную с точностью до константы - ее значения в нуле. Так что запись некорректна.

Хорошо! Спасибо! Я проверил на тестовом примере, понял суть формулировки:
"Интеграл справа восстанавливает первую производную с точностью до константы - ее значения в нуле. Так что запись некорректна."
Тогда получается

$$ \frac{dy_{0}(x)}{dx}\frac{dw(x)}{dx}\neq{K}{w(x)}$$

Но, откуда же получилось слагаемое ${K}{w(x)}$ . В источнике рассматривалось выражение для относительной деформации, которое раскладывалось в ряд, содержащий это произведение, а вот в итоге, вместо произведения

$$ \frac{dy_{0}(x)}{dx}\frac{dw(x)}{dx}$$

стояло $ {K}{w(x)}$

[Brukvalub]

SPgum в сообщении #1458140 писал(а):

Но, откуда же получилось слагаемое ${K}{w(x)}$

Шаман накамлал.

[amon]

SPgum в сообщении #1458072 писал(а):

Поэтому для первого сомножителе, мой вопрос связан с допустимостью такой записи ?

$$\frac{dy_{0}(x)}{dx}=\int_{0}^{x}\frac{d^2y_{0}(x)}{dx^2}{dx}?$$

Это-то ладно, можно какое граничное условие придумать. Вы это

$$ \frac{dy_{0}(x)}{dx}\frac{dw(x)}{dx}=K\int_{0}^{x}{dx}\frac{dw(x)}{dx}=K\int_{0}^{x}{dw(x)}=K{w(x)}{?}$$

замечательное преобразование объясните. Если что, $\frac{dw(x)}{dx}$ стоит вне интеграла.

[SPgum]

amon в сообщении #1458274 писал(а):

замечательное преобразование объясните. Если что, $\frac{dw(x)}{dx}$ стоит вне интеграла.

Да я понимаю, что оно идет как сомножитель и подозревал, что такое сокращение врятли допустимо, но в литературе
1. Есть теорема о производной интеграла по верхнему пределу в которой как мне показалось не задействовалось значение нижнего предела!!!
2. Что касается ${dx}$ то под приращением переменой понимают дифференциал. Вот я и предположил, может есть случаи, когда по аналоги с записью

$$2\sin^2\frac{x}{2}\approx2\frac{x^2}{4}\approx\frac{x^2}{2}$$

В технической литературе такое сокращение используется при малых значениях ${x}$,
Я предполагал, что при определенных условиях возможно допустимо и такое сокращение $\frac{dx}{dx}$ !!!
В любом случае благодарю всех за высказанные замечания!!! Хотелось бы конечно узнать о возможных путях решения, как то ведь его получили (и с учетом такого перехода и результаты совпали, но....

[kotenok gav]

SPgum в сообщении #1458531 писал(а):

Вот я и предположил, может есть случаи, когда по аналоги с записью

$$2\sin^2\frac{x}{2}\approx2\frac{x^2}{4}\approx\frac{x^2}{2}$$

В технической литературе такое сокращение используется при малых значениях ${x}$,

Знаете ли вы слова "эквивалентность" и "первый замечательный предел"?

[SPgum]

То есть, если я правильно понял, правомерность такой записи

$$2\sin^2\frac{x}{2}\approx2\frac{x^2}{4}\approx\frac{x^2}{2}$$

определяется исключительно первым замечательным пределом?!

[kotenok gav]

SPgum в сообщении #1458680 писал(а):

исключительно первым замечательным пределом?!

И еще некой штукой, называющейся "эквивалентостью".

[SPgum]

Ну, про первый замечательный предел я посмотрел в учебнике, а про эквивалентность что то не нашол! Не подскажите в каком разделе можно поискать?!