Уравнение в целых числах

[Евгеша]

Добрый вечер! Помогите, пожалуйста, решить такое уравнение:

$2^x=3^y+5$
$x,y \in \mathbb{N}$

[maxal]

см. http://dxdy.ru/post97514.html#97514 и далее по ссылкам.

[Бодигрим]

Попробовал решать предлагаемым maxal методом. Если я правильно понял, следует выбирать модуль, чтобы он делился на $2^a-1$ и $3^b-1$ при некоторых $a$ и $b$. Кроме того, так как есть тривиальные решения: (3,1) и (5,3), то потребуем чтобы модуль делился на $2^6$ или $3^4$. Верно?

Минимальный модуль, удовлетворяющий выписанным условиям, - это $192=2^6\cdot 3 = (3^2-1)\cdot 24 = (2^2-1)\cdot 64$. Но с ним не удается доказать отсутствие решений: $3^{11}+5\equiv 2^7 \pmod {64}$. Что делать?

Добавлено спустя 5 минут 47 секунд:

Попробовал выбирать модуль, делящийся на $2^8$ - снова получается нетривиальное решение по модулю $768$. Надо выбирать новый модуль, чтобы исключить и его, и так до победного конца? Или я все-таки неправильно считаю?

[maxal]

Бодигрим писал(а):

Попробовал решать предлагаемым maxal методом. Если я правильно понял, следует выбирать модуль, чтобы он делился на $2^a-1$ и $3^b-1$ при некоторых $a$ и $b$. Кроме того, так как есть тривиальные решения: (3,1) и (5,3), то потребуем чтобы модуль делился на $2^6$ или $3^4$. Верно?

Минимальный модуль, удовлетворяющий выписанным условиям, - это $192=2^6\cdot 3 = (3^2-1)\cdot 24 = (2^2-1)\cdot 64$. Но с ним не удается доказать отсутствие решений: $3^{11}+5\equiv 2^7 \pmod {64}$. Что делать?

Пробовать варьировать значения $a, b$.
В данном случае в качестве модуля вроде бы подходит $16320$.

[Бодигрим]

Вроде наименьший доказывающий отсутствие нетривиальных решений модуль - 1088.