Система двух стержней

[Norma]

Система состоит из двух стержней, соединенных шарниром в точке $C$, а точки $A$ и $B$ прикреплены к вертикальной стене и могут перемещаться по ней без трения. Угол поворота вокруг оси $Oz$: $\theta$. Расстояние $OD=z$ Нужно выписать лагранжиан системы.

Ось $y$ я направил вдоль оси симметрии ось $x$ вверх, ось $z$ на нас, начало системы координат в центре масс системы.
Я посчитал моменты инерции, вот что получилось:
$J_x=\frac{ml^2}{3}\cos^2 \varphi$

$J_y=\frac{ml^2}{3}\sin^2 \varphi$

$J_z=\frac{ml^2}{3}$
Угловая скорость системы:

$\vec{w}=(\dot{\theta},0,2\dot{\varphi})$

Тогда лагранжиан: $L=\frac{2m\dot{z}^2+\frac{ml^2}{3}\cos^2 \varphi \dot{\theta}^2+\frac{ml^2}{3} 4\dot{\varphi}^2}{2}+2mgz$

Что не так в моем решении?

[amon]

Давайте начнем с простого - с одного стержня (скажем, верхнего на вашей картинке). Стержень может скользить и поворачиваться вокруг оси $O$ и вокруг шарнира $A$. Сила тяжести отсутствует. Попробуйте для такого стержня написать функцию Лагранжа.

[Norma]

amon
Введем систему координат с началом в $C_1$(центре масс стержня). Ось $y$ направлена вдоль стержня вверх(на северо-запад), ось $x$ перпендикулярна стержню, ось $z$ образует с ними правую тройку.
Скорость точки $A$:
$\vec{v_A}=(\dot{z}\cos\varphi,\dot{z}\sin\varphi,0)$

$\vec{w}=(\dot{\theta}\cos\varphi,\dot{\theta}\sin\varphi,-\dot{\varphi})$

$\vec{AC_1}=(0,\frac{-l}{2},0)$

$\vec{v_{C_1}}=\vec{v_A}+\omega\times\vec{AC_1}=(\dot{z}\cos\varphi-\frac{l}{2}\dot{\varphi},\dot{z}\sin\varphi,-\frac{\dot{\theta}l\cos\varphi}{2})$

Моменты инерции:
$J_x=J_z=\frac{ml^2}{12}, J_y=0$

$L=T-V=\frac{1}{2}(\frac{ml^2}{12}(\dot{\theta}\cos\varphi)^2+\frac{ml^2}{12}(\dot{\varphi})^2)+\frac{m}{2}((\dot{z}\cos\varphi-\frac{l}{2}\dot{\varphi})^2 + (\dot{z}\sin\varphi)^2 + +(\frac{\dot{\theta}l\cos\varphi}{2})^2) -mg(z-\frac{l\sin\varphi}{2}) $

[amon]

Norma, вот это уже гораздо лучше. Похоже, что кинетическая часть написана правильно, а на потенциальную мы договорились пока не смотреть. Теперь добавляем второй стержень и связь между координатами $\theta_1,\varphi_1, z_1$ и $\theta_2,\varphi_2, z_2$ этих двух стержней.

[Norma]

amon
Введем систему координат с началом в $C_2$(центре масс стержня). Ось $x$ направлена вдоль стержня вверх(на северо-восток), ось $y$ перпендикулярна стержню, ось $z$ образует с ними правую тройку.
Скорость точки $B$:
$\vec{v_B}=(-\dot{z}\sin\varphi,-\dot{z}\cos\varphi,0)$

$\vec{w}=(\dot{\theta}\sin\varphi,\dot{\theta}\cos\varphi,\dot{\varphi})$

$\vec{BC_2}=(\frac{l}{2},0,0)$

$\vec{v_{C_2}}=\vec{v_B}+\omega\times\vec{BC_2}=(-\dot{z_2}\sin\varphi,-\dot{z_2}\cos\varphi+\frac{l}{2}\dot{\varphi},-\frac{\dot{\theta}l\cos\varphi}{2})$


$L=T-V=2\frac{1}{2}(\frac{ml^2}{12}(\dot{\theta}\cos\varphi)^2+\frac{ml^2}{12}(\dot{\varphi})^2)+\frac{m}{2}((\dot{z_1}\cos\varphi-\frac{l}{2}\dot{\varphi})^2 +(\dot{z_2}\cos\varphi-\frac{l}{2}\dot{\varphi})^2+ (\dot{z_1}\sin\varphi)^2 + (\dot{z_2}\sin\varphi)^2 +2(\frac{\dot{\theta}l\cos\varphi}{2})^2) -2mgz$


где $z=OD$.

$\varphi_1=\varphi_2=\varphi$
$\theta_1=\theta_2=\theta$
$z_2-z_1=2l\sin\varphi$
$z_1+z_2=2z$, где $z_2$ и $z_1$ - координаты точек $B$ и $A$, соответственно.

[amon]

Norma в сообщении #1457574 писал(а):

$\varphi_1=\varphi_2=\varphi$

В этом Вы уверены?

[Norma]

amon
$\varphi_1=\varphi$
$\varphi_2=-\varphi$

[amon]

Norma в сообщении #1457607 писал(а):

$\varphi_1=\varphi$
$\varphi_2=-\varphi$

По-моему, вы задачку решили, поздравляю! Там чутка подупрощать можно, зная сакральную тайну суммы квадратов синуса и косинуса, но мне бы и так сошло.

[Norma]

amon
Большое спасибо!