2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Исследовать на равномерную сходимость функциональный ряд
Сообщение23.04.2020, 14:10 


23/04/20
10
$$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{\sin(nx)}{2n+x^{2n}n^{-x}}$$ Необходимо исследовать на [$\frac{1}{100}$,100]
Разбил отрезок на три:[$\frac{1}{100}$,1],[1,1+$\delta$],[1+$\delta$,100],$\delta$>0
На первом удалось представить ряд как $$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{\sin(nx)}{2n}+\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{-x^{2n}n^{-x}\sin(nx)}{2n(2n+x^{2n}n^{-x})}$$
Первый ряд равномерно сходится по Дирихле,второй по признаку Вейерштрасса,т.к. $$\frac{x^{2n}n^{-x}\sin(nx)}{2n(2n+x^{2n}n^{-x})}\leqslant\frac{1}{4n^{2}}$$,$$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{4n^{2}}$$сходится
На третьем равномерная сходимость по тому же признаку:$$\left\lvert\frac{\sin(nx)}{2n+x^{2n}n^{-x}}\right\rvert\leqslant\frac{n^{100}}{(1+\delta)^{2n}}$$
$$n^{100}=o((1+\delta)^{n})$$
$$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(1+\delta)^{n}}{(1+\delta)^{2n}}=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(1+\delta)^{n}}$$
Сходится как геом.прогрессия
Проблемы появились со вторым промежутком

 Профиль  
                  
 
 Re: Исследовать на равномерную сходимость функциональный ряд
Сообщение24.04.2020, 12:43 
Заслуженный участник


10/01/16
2318
HateThisProblem
Ряд выглядит страшновато...
И, да, напрямую применить признак Дирихле не удается:
хотя частичные суммы для ряда $\sum\limits_{}^{} \sin nx$ и будут равномерно ограничены, а оставшийся множитель и стремится равномерно к нулю - однако нет монотонности этого множителя.
Однако, если влезть в д-во этого признака, видим: требование монотонности - можно ослабить (например, потребовав, чтоб в последовательности этой монотонность сменялась не более чем один (ну, или семь...) раз - хотя бы даже и местах, зависящих от $x$). Тогда, может, получится? (и даже без разбиения на части?)

 Профиль  
                  
 
 Re: Исследовать на равномерную сходимость функциональный ряд
Сообщение24.04.2020, 12:59 


21/05/16
4292
Аделаида

(Оффтоп)

HateThisProblem в сообщении #1457371 писал(а):
Необходимо исследовать на [$\frac{1}{100}$,100]
Разбил отрезок на три:[$\frac{1}{100}$,1],[1,1+$\delta$],[1+$\delta$,100],$\delta$>0

$[\frac1{100},100]$
$[\frac1{100},1],[1,1+\delta],[1+\delta,100],\delta>0$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 3 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: B@R5uk


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group