Сопряжённые функции.

[_20_]

Здравствуйте.
Читаю "Линейная Алгебра и геометрия" Шафаревича и Ремизова, на стр. 11 вводится понятие сопряжённых функций.

Пусть $R$ — некоторое фиксированное множество. Обозначим через $\mathfrac{F} (M, R)$ совокупность всех отображений $ M \to R$ и, аналогично, через $\mathfrac{F}(N, R)$ — совокупность всех отображений $N \to R$. Тогда с каждым отображением $f:M \to N$ связано определенное отображение $f^*: F(N,R) \to \mathfrac{F}(M,R)$, которое называется сопряженным к $f$ и задается следующим образом. Каждому отображению $\varphi \in \mathfrac{F}(N, R)$ оно ставит в соответствие отображение $f^*(\varphi) \in \mathfrac{F}(M,R)$ по формуле:

$f^*(\varphi) = \varphi \cdot f$.\qquad (5)

Формула (5) означает, что для любого элемента $ x \in M$ выполнено равенство $f^*(\varphi)(x) =\varphi \cdot f(x)$, что можно выразить также в виде следующей диаграммы:

\xymatrix {M \ar[dr]^{f^*(\varphi)} \ar[dd]_{f} & \\ & R \\ N \ar[ur]_{\varphi} &}

Мы встречаемся здесь с важным общематематическим фактом: функции отображаются в противоположную сторону по сравнению с элементами множеств, на которых они заданы. Это явление проявится и в нашей книге, и позже, в других курсах по отношению к более сложным объектам (например, дифференциальным формам).

И теперь вопрос, что такое эта $f^*$? Судя по рисунку, это отображение M в R, но судя по этому: $f^*: F(N,R) \to \mathfrac{F}(M,R)$, это отображение отображений. Но, во - первых, тогда рисунок не правельный, во - вторых, почему она сопряжённая функции f?

Что такое сопряжённые пространство функционалов я не знаю, что такое преобразование Лежандра не понимаю (надеюсь это узнать и понять из этой книги).

[Slav-27]

_20_ в сообщении #1457228 писал(а):

И теперь вопрос, что такое эта $f^*$?

$f^*$ -- это отображение $F(N,R)\to F(M,R)$. Если $\varphi\in F(N,R)$, то $f^*(\varphi)$ -- отображение $M\to R$.

_20_ в сообщении #1457228 писал(а):

Судя по рисунку, это отображение M в R

Нет, на рисунке не $f^*$, а $f^*(\varphi)$.

_20_ в сообщении #1457228 писал(а):

но судя по этому: $f^*: F(N,R) \to \mathfrac{F}(M,R)$, это отображение отображений

Не отображение отображений, а отображение одного множества отображений в другое множество отображений.

[DeBill]

_20_
Я полагаю, здесь у Вас

_20_ в сообщении #1457228 писал(а):

$f^*(\varphi) = \varphi \cdot f$.

опечатка: должно быть
$f^*(\varphi) = \varphi \circ f$

_20_ в сообщении #1457228 писал(а):

И теперь вопрос, что такое эта $f^*$? Судя по рисунку, это отображение M в R,

Нет. На рисунке показано, как действует $f^*(\varphi)$ (т.е., значение оператора $f^*$ на элементе $\varphi$)

Ну, давайте примеры посмотрим:
пусть $M=N=\mathbb{R}, $ и $f(x) = \sin x$.
А теперь будем брать разные функции из $F(M,\mathbb{R})$, и применять к ним $f^*$.
Например, если $\varphi (t)= e^t$, то что тогда есть $f^*(\varphi)$ ?

[Otta]

DeBill в сообщении #1457236 писал(а):

опечатка: должно быть
$f^*(\varphi) = \varphi \circ f$

Нет, это сознательное действо авторов. Композицию отображений они называют произведением и обозначают так, как указано, или вовсе $fg$, опуская знак бинарной операции.
Но да, точечка - это именно композиция, конечно.

[_20_]

DeBill в сообщении #1457236 писал(а):

Например, если $\varphi (t)= e^t$, то что тогда есть $f^*(\varphi)$ ?

$f^* = \varphi \cdot f = e^{\sin(x)}$

Правильно?

DeBill в сообщении #1457236 писал(а):

Нет. На рисунке показано, как действует $f^*(\varphi)$ (т.е., значение оператора $f^*$ на элементе $\varphi$)

То есть, сопряжённой к функции является оператор? В тексте же сопряжённая функция была?
Или чтобы составить сопряжённую функцию обязательно нужна какая - то другая функция определённой на множестве собственных значений той функции, к которой мы ищем сопряжённую в другое, абсолютно левое множество?

Вернее там было отображение, но разве функция и оператор - отображения одной природы, чтобы быть сопряжёнными?

[Slav-27]

_20_ в сообщении #1457259 писал(а):

$f^* = \varphi \cdot f = e^{\sin(x)}$

Правильно?

Нет, каждое из этих трёх равенств написано неправильно. Правильно $(f^*(\varphi))(x)=e^{\sin x}$.

_20_ в сообщении #1457259 писал(а):

То есть, сопряжённой к функции является оператор?

DeBill словом "оператор" называет функцию, определённую на множестве функций. В его сообщении можно читать "функция" вместо "оператор".

[DeBill]

_20_ в сообщении #1457259 писал(а):

То есть, сопряжённой к функции является оператор? В тексте же сопряжённая функция была?

Ну, Slav-27 уже пояснил это...
А вообще: функция, оператор, отображение, функционал,... - это все, фактически, синонимы, и разные словеса используют, во первых, чтобы не замусорЯть текст сплошными "функциями", и, во-вторых, чтоб подчеркнуть какие-либо детали, связанные с функциями. Так, функционалами обычно называют функции с вещественными значениями; отображениями чаще кличут функции, действующие в многомерные пространства (или абстракные функции); функции, область определения которых состоит из функций, часто называют операторами. Вобщем, дело в традициях/привычках/удобстве - не заморачивайтесь этим. Зрите в существо дела....

[_20_]

Ну всё - таки функции разные бывают. Мне кажется очень странным, что сопряжённой к функции, определённой на каком - то множестве элементов является оператор, определённый на подобных функциях. Это же две разные вещи, я как - то не могу принять это. А ещё я помню про сопряжение в комплексных числах, это мне кажется совсем что - то другое, хотя и обозначение и название - одинаковые.

Можно ещё пример, только чтобы $N \neq M \neq R $ ?

[arseniiv]

Сопряжений много разных не очень связанных, да.

_20_ в сообщении #1457526 писал(а):

Можно ещё пример, только чтобы $N \neq M \neq R $ ?

Вот вам $f\colon \mathbb Z\to\mathbb N$: $f(n) = n^2$. А $R$ вообще можно брать какое угодно, выберите что понравится. Можно например пустое взять.

_20_ в сообщении #1457526 писал(а):

Мне кажется очень странным, что сопряжённой к функции, определённой на каком - то множестве элементов является оператор, определённый на подобных функциях.

Ну опыта у вас просто может быть недостаточно, бывает. По $f$ можно так же построить и другую функцию, обозначим её $f_S$, которая отображает $F(S, M)$ в $F(S, N)$ так: $f_S(\varphi) = f\circ\varphi$. Вот пара таких $f_S$ и $f^*_R$ уже в более равных отношениях, правда?

[DeBill]

_20_ в сообщении #1457526 писал(а):

Можно ещё пример, только чтобы $N \neq M \neq R $ ?

Пример то можно - вот только "пространство всех функций" - трудно описываемы.
Ну разве что в случае конечных множеств. Или - если, напр., рассматривать не любые функции, а какие-нить хорошие (линейные, напр.)...
Пр.1. Пусть $M=\{2,3\}, N=\{4,9\}$ - двухэлементные. Тогда всякая функция $\varphi:M\to \mathbb{R}$ задается парой чисел (значениями $\varphi (2)=a, \varphi(3)=b$), так что пространство $F(M,\mathbb{R})$ можно отождествить просто с $\mathbb{R}^2$ (аналогично для $N$).
Функций $f:M \to N$ всего 4:
$f_1(x)=x^2, f_2(x)=(4-x)^2, f_3(x)=4, f_4(x) = 9$.
Ну вот и найдите для каждой из них сопряженную (и опишите их геометрически - как отображения плоскости в плоскость).
Пр.2 (будем рассматривать только линейные отображения).
Пусть $ M=\mathbb{R}^m, N=\mathbb{R}^n$, $f$ - линейное (задается матрицей). Вместо $F(M,\mathbb{R})$ будем рассматривать пространство $LF(M,\mathbb{R})$ линейных отображений из $M$ в $\mathbb{R}$ (его, кстати, называют сопряженным к $M$), его элементами будем считать вектора из $\mathbb{R}^m$, (т.е., каждое $\varphi$ определяется неким вектором $a$, и действует по правилу $\varphi (x)= (x,a)$ - здесь - скалярное произведение). Вот. И что тогда есть $f^*$ ?

-- 24.04.2020, 03:32 --

Ааа, $R$- это вовсе не обязательно $\mathbb{R}$... А я то решил - ТС просто по неопытности так написал.. Ну, тогда вполне обозримые примеры можно настругать, да.

[_20_]

arseniiv в сообщении #1457534 писал(а):

Ну опыта у вас просто может быть недостаточно, бывает. По $f$ можно так же построить и другую функцию, обозначим её $f_S$, которая отображает $F(S, M)$ в $F(S, N)$ так: $f_S(\varphi) = f\circ\varphi$. Вот пара таких $f_S$ и $f^*_R$ уже в более равных отношениях, правда?

Так - так, интересно. То есть Вы предлагаете ввести ещё одно множество S, и функцию, которая отображает $F(S, M)$ в $F(S, N)$. Но по аналогии с тем, что в книге, должно быть $F(M, S)$ в $F(N, S)$, то есть у вас отображения направлены в другую сторону. Так тоже можно? В книге про это ничего нет, значит меня обманули? Может кто - нибудь мне ясно объяснить, что такое сопряжение в самом общем случае?

-- 24.04.2020, 04:10 --

DeBill в сообщении #1457535 писал(а):

так что пространство $F(M,\mathbb{R})$ можно отождествить просто с $\mathbb{R}^2$

Вот этого не понял. То есть пространство функций отображения множества M в множество вещественных чисел можно отождествить с квадратом множества вещественных чисел - это как? Что значит отождествить?
Как именно это следует из того, что

DeBill в сообщении #1457535 писал(а):

всякая функция $\varphi:M\to \mathbb{R}$ задается парой чисел

?

[DeBill]

_20_
Нда, похоже, сложноватые я для Вас примеры закрутил...
И книжка будет для Вас тяжела - ибо не хватат знаний из матана, и пр...
Ну да ладно.

_20_ в сообщении #1457537 писал(а):

Как именно это следует из того, что

Дык, что есть $\mathbb{R}^2$ (читают - "эр-два")? Это - пространство всех ПАР чисел $(a,b)$ Так что всяка ф-я - это, фактически, и есть пара чисел...

[Someone]

_20_ в сообщении #1457537 писал(а):

Может кто - нибудь мне ясно объяснить, что такое сопряжение в самом общем случае?

Никто не может. Потому что нет такого понятия — "сопряжение в самом общем случае". В разных конкретных случаях есть тьма разных "конкретных сопряжений", которые каждый определяет так, как ему хочется (точнее, так, как ему нужно для решения его задачи). Но обычно термин "сопряжение" предполагает, что "сопряжённое к сопряжённому" как-то "хорошо связано" с первоначальным, поэтому употребление этого термина в вашем случае мне кажется неожиданным. Мне более уместным кажется менее обязывающий термин "индуцированное": отображение $f\colon X\to Y$ индуцирует отображение $f^*\colon Z^Y\to Z^X$ множества отображений $Y$ в $Z$ в множество отображений $X$ в $Z$.

[_20_]

DeBill
Нет, нет, не сложно, не сложно, сейчас разберусь с Вашим примером.

Иногда просто надо уточнить, правильно ли я Вас понимаю.
Вы пишете: "всякая функция $\varphi:M\to \mathbb{R}$ задается парой чисел". Если я правильно помню, задание функции - это задание правила вычисления из аргумента значения. Но в том случае, если аналитически это сделать невозможно, функция задаётся таблицой, Вы это имеете в виду? То есть пара чисел - это аргумент - значение? А почему в отображении $\varphi:M\to \mathbb{R}$ не может быть функции с двумя аргументами, ведь тогда получится три числа, $\mathbb{R}^3$ - два аргумента и значение? Или Вы имеете в виду, что область определения любой функции из $F(M,\mathbb{R})$ является парой чисел (потому - что других чисел во множестве М нет)?


Someone
Значит сопряжение - это не строгое понятие и каждый автор может придумать своё сопряжение? И Вам тоже кажется здесь как - то не очень хорошо выглядет это слово?
Теперь понятнее, спасибо.

[DeBill]

_20_ в сообщении #1457624 писал(а):

Или Вы имеете в виду, что область определения любой функции из $F(M,\mathbb{R})$ является парой чисел (потому - что других чисел во множестве М нет)?

Да.

-- 24.04.2020, 17:47 --

_20_ в сообщении #1457624 писал(а):

То есть пара чисел - это аргумент - значение?

Нет. Пара чисел - это пара "(значение на первом аргументе, значение на втором аргументе)"

-- 24.04.2020, 17:49 --

Ну Вы же сами написали:

_20_ в сообщении #1457624 писал(а):

функция задаётся таблицой

Ну и сколько чисел будет в этой таблице?