построение: четырехугольник пополам

[mihatel]

Дан выпуклый четырехугольник и точка, ему не принадлежащяя. Через эту точку надо провести прямую, которая делит исходный четырехугольник на равновеликие части. Задача легко решается, если точка принадлежит границе четырехугольника. Может быть, она также просто решается и в общем случае?

[TOTAL]

mihatel в сообщении #1456643 писал(а):

Задача легко решается, если точка принадлежит границе четырехугольника.

Расскажите про решение для этого случая.

[mihatel]

В общих чертах. Если точка лежит в вершине - проведем через нее диагональ. Потом от большей части отсечем половину разности этих площадей. Если точка лежит на стороне - преобразуем четырехугольник к такому же по площади, но имеющему заданную точку вершиной.

[slavav]

Попробую в общих чертах наметить решения для произвольной точки вне четырёхугольника. Для простоты пусть он будет выпуклым. Тогда проводим лучи из данной точки через все вершины, упорядочиваем их по углу. Каждая пара лучей вырезает из четырёхугольника "сектор", площадь которого можно вычислить. По площадям определяем какой из секторов надо разрезать и в какой пропорции. Осталось придумать, как от сектора отрезать кусочек нужной площади.

[mihatel]

slavav в сообщении #1456705 писал(а):

Попробую в общих чертах наметить решения для произвольной точки вне четырёхугольника. Для простоты пусть он будет выпуклым. Тогда проводим лучи из данной точки через все вершины, упорядочиваем их по углу. Каждая пара лучей вырезает из четырёхугольника "сектор", площадь которого можно вычислить. По площадям определяем какой из секторов надо разрезать и в какой пропорции. Осталось придумать, как от сектора отрезать кусочек нужной площади.

мне не нравится: один из секторов будет четырехугольником, и хотя он будет красиво расположен, не очень понятно, как это нам поможет. И потом, как найти отношение, в котором его надо делить, причем циркулем и линейкой?

[slavav]

Долю площади, которую надо отрезать от четырёхугольника, найти можно. Я пока не понимаю как по найденной доле провести отрезание.

[slavav]

Про отрезание: на упрощённых примерах получается квадратное уравнение, корни которого можно отыскать циркулем и линейкой.

[mihatel]

Если бы начальник мне дал такие указания, я бы уволился.

[slavav]

mihatel, вы хотите сказать что задача далека от практичности? Если так, то согласен.
Но она красивая. Я много нового узнал о построениях циркулем и линейкой. Это интересная страница математики, которая в итоге привела к новому типу задач в математике.

[EUgeneUS]

slavav в сообщении #1456705 писал(а):

проводим лучи из данной точки через все вершины, упорядочиваем их по углу. Каждая пара лучей вырезает из четырёхугольника "сектор",

Может получиться так, что две пары лучей вырезают сектор нулевой площади, а две другие пары лучей вырезают сектор равный самому четырехугольнику.

[slavav]

Тогда вы делите этот сектор пополам. Мне кажется, разрешима задача отрезания произвольной доли площади, в том числе половины.

[Markiyan Hirnyk]

Любая прямая, проходящая через центр массы выпуклого четырехугольника, делит его на две равновеликие части.

[TOTAL]

Markiyan Hirnyk в сообщении #1457544 писал(а):

Любая прямая, проходящая через центр массы выпуклого четырехугольника, делит его на две равновеликие части.

Потренируйтесь с прямыми, проходящими через точку пересечения медиан треугольника.

[Markiyan Hirnyk]

TOTAL Спасибо, я ошибся в своем предположении.

[mihatel]

Если уж, то хотелось бы получать ответы в таком виде:
1. это невозможно, потому что...
2. можно, но долго и некрасиво. Примерно так: ...
3. раз, два три!
Четвертого не дано.