Угол между плоскостями в четырехмерном пространстве

[Sicker]

Пусть задано две плоскости в четырехмерном пространстве
$ \begin{cases} \overrightarrow{a_1}\cdot \overrightarrow{x_1}=0\\ \overrightarrow{b_1}\cdot \overrightarrow{x_1}=0\\ \end{cases} $
$ \begin{cases} \overrightarrow{a_2}\cdot \overrightarrow{x_2}=0\\ \overrightarrow{b_2}\cdot \overrightarrow{x_2}=0\\ \end{cases} $
где $a$ и $b$ два перпендикуляра, задающие плоскость, которые равны $a_1=[1,2,3,4], b_1=[1,5,2,9], a_2=[-4,1,6,-3], b_2=[0,7,-5,2]$
Надо найти косинус угла между плоскостями. Собственно, мое решение
Перепишем перпендикуляры в виде 1-мерных поливекторов $a_1=1\frac{\partial}{\partial x_1}+2\frac{\partial}{\partial x_1}+3\frac{\partial}{\partial x_1}+4\frac{\partial}{\partial x_1}, b_1=1\frac{\partial}{\partial x_1}+5\frac{\partial}{\partial x_1}+2\frac{\partial}{\partial x_1}+9\frac{\partial}{\partial x_1}, a_2=-4\frac{\partial}{\partial x_1}+1\frac{\partial}{\partial x_1}+6\frac{\partial}{\partial x_1}-3\frac{\partial}{\partial x_1}, b_2=0\frac{\partial}{\partial x_1}+7\frac{\partial}{\partial x_1}-5\frac{\partial}{\partial x_1}+2\frac{\partial}{\partial x_1}$
найдем внешнее произведение $\widehat {a_1 b_1}=3\widehat{\frac{\partial}{\partial x_1}\frac{\partial}{\partial x_2}}-11\widehat{\frac{\partial}{\partial x_2}\frac{\partial}{\partial x_3}}+21\widehat{\frac{\partial}{\partial x_3}\frac{\partial}{\partial x_4}}-5\widehat{\frac{\partial}{\partial x_4}\frac{\partial}{\partial x_1}}$
$\widehat {a_2 b_2}=-28\widehat{\frac{\partial}{\partial x_1}\frac{\partial}{\partial x_2}}-47\widehat{\frac{\partial}{\partial x_2}\frac{\partial}{\partial x_3}}-27\widehat{\frac{\partial}{\partial x_3}\frac{\partial}{\partial x_4}}-8\widehat{\frac{\partial}{\partial x_4}\frac{\partial}{\partial x_1}}$
Применим оператор звездочки Ходжа: $c_1=\ast{\widehat {a_1 b_1}}=3\widehat{dx_3, dx_4}-11\widehat{dx_1, dx_4}+21\widehat{dx_1, dx_2}-5\widehat{dx_3, dx_2}$
$c_2=\ast{\widehat {a_2 b_2}}=-28\widehat{dx_3, dx_4}-47\widehat{dx_1, dx_4}-27\widehat{dx_1, dx_2}-8\widehat{dx_3, dx_2}$
Соответственно, у нас две 2-формы $c_1$ и $c_2$, описывающие наши плоскости. Дальше мы можем их скалярно перемножить как $c_1\cdot c_2=c_1I(c_2)$, где $I$ - оператор канонического изоморфизма между 2-формами и 2-поливекторами, и потом разделить на $\sqrt{c_1\cdot c_1}\sqrt{c_2\cdot c_2}$, и взять модуль от получившегося косинуса (т.к. угол между плоскостями от $0$ до $\frac{\pi}{2}$)
Все верно?

[Markiyan Hirnyk]

Ваш вопрос обсужден здесь на элементарном уровне.

[Brukvalub]

Sicker в сообщении #1455411 писал(а):

Пусть задано две плоскости в четырехмерном пространстве
$ \begin{cases} \overrightarrow{a_1}\cdot \overrightarrow{x_1}=0\\ \overrightarrow{b_1}\cdot \overrightarrow{x_1}=0\\ \end{cases} $
$ \begin{cases} \overrightarrow{a_2}\cdot \overrightarrow{x_2}=0\\ \overrightarrow{b_2}\cdot \overrightarrow{x_2}=0\\ \end{cases} $
где $a$ и $b$ два перпендикуляра, задающие плоскость, которые равны $a_1=[1,2,3,4], b_1=[1,5,2,9], a_2=[-4,1,6,-3], b_2=[0,7,-5,2]$
Надо найти косинус угла между плоскостями. Собственно, мое решение
Перепишем перпендикуляры в виде 1-мерных поливекторов $a_1=1\frac{\partial}{\partial x_1}+2\frac{\partial}{\partial x_1}+3\frac{\partial}{\partial x_1}+4\frac{\partial}{\partial x_1}$,....

Больно мудрёно разложено. Один и тот же ковектор умножен на 4 разных константы и потом сложен. Простому математику "ниасилить".

[Sicker]

Markiyan Hirnyk
А есть ли там задачи по нахождению угла между $m$ и $k$ мерными гиперплоскостями в $n$ мерном пространстве?
Я и такое умею находить

-- 19.04.2020, 18:29 --

Brukvalub в сообщении #1455744 писал(а):

Больно мудрёно разложено. Один и тот же ковектор умножен на 4 разных константы и потом сложен. Простому математику "ниасилить".

А как еще задать плоскость? По ссылке так же задают

[arseniiv]

Не вчитывался, но не понимаю, зачем вам формы понадобились. Можно обойтись не просто даже внешней алгеброй одних лишь векторов, но и чисто одними векторами, найдя сначала любую 2-плоскость, ортогональную пересечению интересующих плоскостей.

-- Вс апр 19, 2020 22:26:20 --

И я считаю, что обозначения $\frac{\partial}{\partial x^i}$ тоже совершенно излишни и вот цепляются за глаз не по делу. Пространство мало того что плоское, оно ещё и линейное. Обозначили бы векторы базиса $e_1,\ldots$ и всё. (В любом случае вы не написали, что базис ортонормирован, что требуется чтобы ответ был коротким.)

[Markiyan Hirnyk]

Sicker

Цитата:

А есть ли там задачи по нахождению угла между $m$ и $k$ мерными гиперплоскостями в $n$ мерном пространстве?
Я и такое умею находить

Если посмотреть в ответ, то там написано

Цитата:

This generalizes readily to formulas the angle between $k$-planes and $(n-k)$-planes in vector spaces of dimension $n$ (try this for the familiar situation $ n=2, k=1$), and with just a little more work to finding the angle between $k$- and $ l$- planes in vector spaces of dimension more than $ k+l$.

[arseniiv]

arseniiv в сообщении #1456161 писал(а):

найдя сначала любую 2-плоскость, ортогональную пересечению интересующих плоскостей

Не, не любую.

[Brukvalub]

В НГУ работает (не знаю как сейчас, но раньше - точно работал) профессор В.А. Чуркин. В соавторстве с В.Н. Желябиным он издал пособие "Линейные преобразования Евклидовых пространств" (я сейчас ради интереса легко отыскал это пособие в сети). В нем исключительно в рамках Евклидовости подробно обсуждается задача об угле между подпространствами и совсем не привлекается техника внешних форм, поливекторов и т.п.

[Sicker]

А вот в пространствах высокой размерности верно ли что любую 2-форму можно представить как внешнее произведение двух 1-форм? Я думаю что нет, т.к. размерность базиса 2-форм растет квадратично, а 1-форм линейно, но 2-форму можно же представить как ориентированную плоскость...

[Brukvalub]

Sicker в сообщении #1456211 писал(а):

А вот в пространствах высокой размерности верно ли что любую 2-форму можно представить как внешнее произведение двух 1-форм?

Есть стандартный критерий разложимости бивектора, который в координатах записывается в виде соотношений Плюккера.
См., например, п.8.7 здесь.

[arseniiv]

Sicker в сообщении #1456211 писал(а):

но 2-форму можно же представить как ориентированную плоскость...

Как раз во-первых только разложимую, и во-вторых ничего такого нельзя, не плоскость это. И бивектор (разложимый) разумно представляется как ориентированная площадка конечной площади, и разложимая 2-форма разумно представляется как… мм, ну точно не как 2-плоскость: 1-форма визуализируется лучше всего своими линиями уровня — стопкой гиперплоскостей, каждой из которых соответствует какое-то число, а 2-форма подстановкой вектора превращается в 1-форму, и можно плясать отсюда (вообще у меня где-то были картинки, но словами их не описать понятно). Ещё надо учитывать размерность величин, что например не даст спутать низшую внешнюю степень, содержащую скаляры, и высшую, содержащую (псевдо)плотности (для форм) и элементы объёма (для векторов). Короче рисовать и вычислять вам ещё придётся.

В присутствии скалярного произведения любой (и неразложимый) бивектор можно понимать как набор плоскостей поворота (взаимно ортогональных) и углов поворота в них. Если все углы по модулю различаются, подходящее разложение (чтобы слагаемые описывали именно взаимно ортогональные плоскости) будет единственным. А если углы в нескольких плоскостях совпадают, мы получим ту же неоднозначность, что и в разложении соответствующего вращения на простые вращения. Потому-то такое понимание и позволено. А вот можно ли что-то такое делать для других неразложимых $n$-векторов… ну их всё-таки всегда можно понимать как формальные комбинации, так же как это с неразложимыми тензорами. В этом нет ничего плохого.

[Sicker]

arseniiv
А как можно интерпретировать частное от скалярного произведения 2-векторов на их модули? Ведь это косинус угла только в случае, если они разложимы (т.е. ориентированные площадки)

[arseniiv]

Использовать линейность и свести к смыслу скалярного произведения разложимых. Когда разложение на ортогональные слагаемые единственно, на этом и закончим, а когда не единственно, придётся поразбираться дальше… Меня терзают смутные сомнения, что на этот счёт уже книжный шкаф написали, а не просто книг пять и статей пятьдесят.

Кстати скалярное произведение-то, распространённое на все внешние степени, вы упомянули хорошо, но вот оно так просто не доопределяется до произведения элементов разной степени. Можно иметь коммутативное произведение, в индексной записи (считаем $k$-векторы антисимметричными тензорами) представляемое как $(A^{i_1\cdots i_k \cdots i_m}, B^{j_1\cdots j_k})\mapsto A_{i_1\cdots i_k}{}^{i_{k+1}\cdots i_m} B^{i_1\cdots i_k}$, можно иметь некоммутативное, равное нулю, если степень первого аргумента больше (или меньше) степени второго. И ещё какое-то вроде было. У всех немного свой смысл.

UPD. Поправил индексы, там же свёртка подразумевалась.

[Sicker]

arseniiv в сообщении #1456460 писал(а):

Можно иметь коммутативное произведение, в индексной записи (считаем $k$-векторы антисимметричными тензорами) представляемое как $(A^{i_1\cdots i_k \cdots i_m}, B^{j_1\cdots j_k})\mapsto A_{i_1\cdots i_k}{}^{i_{k+1}\cdots i_m} B^{i_1\cdots i_k}$,

Из которого в частности следует, что $(\widehat{e_1, e_2},\widehat{e_1, e_3, e_4})=0, (\widehat{e_1, e_2}, \widehat{e_1, e_2, e_4})=e_4$?

arseniiv в сообщении #1456460 писал(а):

можно иметь некоммутативное, равное нулю, если степень первого аргумента больше (или меньше) степени второго.

Но это как-то скучно
А кстати, (n-1)-поливектор разложим?

[arseniiv]

Sicker в сообщении #1456516 писал(а):

$(\widehat{e_1, e_2},\widehat{e_1, e_3, e_4})=0, (\widehat{e_1, e_2}, \widehat{e_1, e_2, e_4})=e_4$

В смысле $(e_1\wedge e_2,e_1\wedge e_3\wedge e_4) = 0$, $(e_1\wedge e_2, e_1\wedge e_2\wedge e_4) = e_4$? Ну если $e_1, e_2, e_3, e_4$ — ортонормированный базис, то всё должно получиться так.

Sicker в сообщении #1456516 писал(а):

Но это как-то скучно

Зато полезно.

Sicker в сообщении #1456516 писал(а):

А кстати, (n-1)-поливектор разложим?

А 1-вектор разложим?