Верхние и нижние пределы последовательностей

[Fiend]

Доброго времени суток, дорогие форумчане! Я взялся изучать матан самостоятельно и возникло непонимание в теме, указанной в заголовке.
Одно из определений верхнего предела $L$ (рассмотрю только его) таково:

$$L=\lim_{n \rightarrow \infty}\sup\{x_n, x_{n+1},\ldots\}$$

И вот я совсем не могу въехать, что это значит. Мы говорим, что верхний предел L равен точной верхней грани значений последовательности при стремлении $n$ к бесконечности или что? Объясните, пожалуйста.

[vpb]

Пусть $y_n$ обозначает $\sup\{x_n,x_{n+1},\ldots\}$. Понятно ли, что $y_1\geq y_2\geq y_3\geq\ldots$ ?

[Fiend]

vpb в сообщении #1455294 писал(а):

Пусть $y_n$ обозначает $\sup\{x_n,x_{n+1},\ldots\}$. Понятно ли, что $y_1\geq y_2\geq y_3\geq\ldots$ ?

Да, я это понимаю. Но тогда есть шаг, который я не понимаю. Если $y_n:=\sup\{x_n,x_{n+1},\ldots\}$ ,
то это означает, что $y_n$ — множество точных верхних граней последовательностей $x_n, x_{n+1}, \ldots$ ? Если да, то разве они (супремумы) не равны между собой? Ведь по определению точная верхняя грань, это когда $(\forall n\in\mathbb{N}) \,\, x_n \leq M$ и не важно, будет номер $n$ или $n+1$

[vpb]

Fiend в сообщении #1455299 писал(а):

что $y_n$ — множество точных верхних граней

$y_n$ --- это число. Вы вообще матан по какой книжке изучаете, и на базе каких предварительных знаний ?

[Fiend]

Только после вашего ответа понял, что сморозил полную чушь. Конечно же число.

vpb в сообщении #1455301 писал(а):

по какой книжке изучаете

Я начинал читать Фихтенгольца, прочитал немного (буквально полторы главы), потом наткнулся на отзыв о его книге (вроде бы на этом форуме), что у него не все доказательства доказывают + он устарел, и начал рыть по поводу других книг. Пока остановился не на книге, а на курсе лекций с ютуба. Плейлист называется "Введение в математический анализ (1 курс, осень 2019) - лектор Лукашов Алексей Леонидович" от Лектория ФИВТ.

vpb в сообщении #1455301 писал(а):

базе каких предварительных знаний ?

Ничего кроме школьного курса за 11 классов

UPD: заглянул в Фихтенгольца, понял что значит $y_n$, готов продолжить вникать в ваше объяснение
UPD2: я не могу понять, что значит предел $y_n$

[Otta]

Fiend
Давайте добавлю конкретики.
Пусть $x_n= (-1)^n/n$.
Посчитайте, чему равен $y_n$.

[Fiend]

Otta в сообщении #1455306 писал(а):

Fiend
Давайте добавлю конкретики.
Пусть $x_n= (-1)^n/n$.
Посчитайте, чему равен $y_n$.

В данном случае $y_n=x_n$, если $n$ - четно, и $y_n=x_{n+1}$, если $n$ - нечетно ?
UPD: Я понял, что ничего не посчитал
$y_n=1/2$
Почему я такой тупой

[Otta]

Fiend
Было лучше.
Давайте, выпишем их последовательно, элементы исходной последовательности. А потом - последовательность $y_k$.

[Fiend]

Otta в сообщении #1455323 писал(а):

Fiend
Было лучше.
Давайте, выпишем их последовательно, элементы исходной последовательности. А потом - последовательность $y_k$.

Хорошо. Первые члены $x_n:$ -1; 1/2; -1/3; 1/4; -1/5; 1/6 и т.д. Понятно, что положительные члены последовательности уменьшаются, а отрицательные наоборот, увеличиваются, так, что все сходится к 0.
Первые члены $y_n:$ 1/2; 1/2; 1/4; 1/4; 1/6; 1/6 и т.д. Тут подчиняется тому ответу, который был дан мною первым

[vpb]

Fiend в сообщении #1455304 писал(а):

потом наткнулся на отзыв о его книге (вроде бы на этом форуме), что у него не все доказательства доказывают + он устарел,

В советское время люди верили всякому печатному слову, а нынче верят чему попало, что можно прочитать в интернете. Фихтенгольц --- превосходный учебник. Хотя действительно там есть морально устаревшие (а иногда просто вредные, вроде "теории дифференциалов высшего порядка") места. Но Вы до них еще явно не дошли. Я думаю еще, что у тех людей, которые плохо пишут о Фихтенгольце, слишком много ЧСВ.

Полезно иметь в виду такую книжку Зельдович, Высшая математика для начинающих и ее приложения к физике. (Не путать с книжкой Зельдович-Яглом с похожим названием !). Это объяснения некоторых простейших вещей крайне нестрогое, на пальцах. Учебником матанализа она никоим образом не является, но в виду ее иметь полезно.

[Fiend]

vpb в сообщении #1455331 писал(а):

Хотя действительно там есть морально устаревшие (а иногда просто вредные, вроде "теории дифференциалов высшего порядка") места

(Оффтоп)

Вот как раз чтобы избежать вреда, я переключился на другие источники, более современные. Для начала я планировал посмотреть эти лекции, затем прочитать (дабы усвоить получше) книжку Куранта "Дифференциальное и интегральное исчисление", а затем перейти к двухтомнику Зорича

[vpb]

Fiend в сообщении #1455335 писал(а):

Вот как раз чтобы избежать вреда, я переключился на другие источники, более современные.

Это называется "с водой выплеснуть ребенка". Чтобы избежать вреда от некоторых мест в Фихтенгольце, просто не надо стараться их "понять" натужно. А "более современное" (с более поздним сроком издания) совсем не значит, что лучше, чем то, что было раньше ! Головой повредиться можно очень хорошо и от Зорича.

[Fiend]

vpb в сообщении #1455339 писал(а):

стараться их "понять" натужно.

(Оффтоп)

В этом моя проблема. Я не могу без полного понимания двигаться дальше.

vpb в сообщении #1455339 писал(а):

Головой повредиться можно очень хорошо и от Зорича.

Хорошо, какие бы вы книги посоветовали для углубленного изучения матана? (Чисто для себя, например)

[vpb]

Fiend в сообщении #1455341 писал(а):

Хорошо, какие бы вы книги посоветовали для углубленного изучения матана? (Чисто для себя, например)

Если для математика, то (а) Фихтенгольц (трехтомник); это более простая и подробная книга.
(б) более трудное: Зорич, или Камынин, или Решетняк. Эти три книги, надо сказать, весьма разные в разных отношениях. А вот Архипов-Садовничий-Чубариков мне как-то не нравится.

И еще надо задачи из Демидовича решать. И из других книжек, возможно.

Есть еще книги более физически ориентированные. Кудрявцев в трех томах. Ильин-Позняк.

Упомянутая же Вами выше книга Куранта довольно архаична, так же как и "Курс высшей математики" В.И.Смирнова. Первое издание Куранта появилось в 1927 г, Смирнова в 1923. И к тому же это книги не для математиков, а скорее для физиков и техников. Пытаться их читать... ну не знаю, может и будет польза, но в общем на свой страх и риск.

(Тут я писал только об общепризнанных книгах, а о менее известных ничего сказать не могу.
Есть еще книги более экзотические. Л.Шварц Анализ; Рудин, Основы математического анализа.
Грауэрт,Либ,Фишер, Диффренциальное и интегральное исчисление.

-- 17.04.2020, 02:20 --

Fiend в сообщении #1455341 писал(а):

В этом моя проблема. Я не могу без полного понимания двигаться дальше.

Полезно иметь в виду, что понятия, утверждения и т.д. в Фихтенгольце (да и в других книжках тоже) образуют дерево, а не просто последовательность. Вполне бывает можно, не застревая на каких-то подробностях (или даже пропуская целые параграфы), двигаться дальше.

-- 17.04.2020, 02:28 --

Fiend в сообщении #1455328 писал(а):

Первые члены $y_n:$ 1/2; 1/2; 1/4; 1/4; 1/6; 1/6 и т.д. Тут подчиняется тому ответу, который был дан мною первым

Да.
А насчет исходного вопроса ... Что такое нижний и верхний пределы последовательности (и более общо, частичный предел), отлично рассказано в Фихтенгольце. У меня лучше не получится, может у кого другого. А Вы, для упражнения, можете доказать, что определение из Фихтенгольца и из стартового поста --- это, по существу, одно и то же.

[Otta]

Fiend в сообщении #1455328 писал(а):

Первые члены $y_n:$ 1/2; 1/2; 1/4; 1/4; 1/6; 1/6 и т.д. Тут подчиняется тому ответу, который был дан мною первым

Да. И верхний предел -- это как раз предел этой последовательности.
Об этом и определение.