приведение уравнение поверхности к каноническому виду

[otorvald]

Здравствуйте, нужна помощь чисто методического характера. Получил удаленно домашнее задание свести уравнение поверхности к каноническому виду. Более того, даже свел двумя способами: методом Лагранжа (так как это квадратичная форма) и переходя в базис собственных векторов. Но ответы получил разные. В чем разница между подходами и какой из подходов корректнее? Заранее спасибо.

[Otta]

otorvald
Оба корректны, получаться должно одно и то же. Почему у Вас получается разное - надо смотреть на Ваше решение.

Лучше начать с ответов, может быть, дальше уже не понадобится.

[otorvald]

Otta в сообщении #1455041 писал(а):

otorvald
Оба корректны, получаться должно одно и то же. Почему у Вас получается разное - надо смотреть на Ваше решение.

Лучше начать с ответов, может быть, дальше уже не понадобится.

я посмотрел на матрицы переходов и заметил, что базис собственных векторов ортогонален, а векторов, которые получились методом Лагранжа -нет. Может после ортогонализации они будут одинаковы. Но вопрос теперь в том, в каком из базисов поверхность можно считать в каноническом виде?

[Someone]

otorvald в сообщении #1455136 писал(а):

посмотрел на матрицы переходов и заметил, что базис собственных векторов ортогонален, а векторов, которые получились методом Лагранжа -нет.

Есть понятие эквивалентности квадратичных форм, и есть понятие ортогональной эквивалентности. Второе — более узкое, то есть, эквивалентные квадратичные формы не обязаны быть ортогонально эквивалентными. Метод Лагранжа даёт эквивалентную квадратичную форму, а (ортонормированный) базис из собственных векторов — ортогонально эквивалентную.

otorvald в сообщении #1455136 писал(а):

Может после ортогонализации они будут одинаковы.

Вряд ли.

Otta в сообщении #1455041 писал(а):

Но вопрос теперь в том, в каком из базисов поверхность можно считать в каноническом виде?

В задачнике И. В. Проскурякова по линейной алгебре оба называются каноническими, так что это Вы у своего преподавателя уточняйте, что он имел в виду.

[otorvald]

Someone в сообщении #1455143 писал(а):

otorvald в сообщении #1455136 писал(а):

посмотрел на матрицы переходов и заметил, что базис собственных векторов ортогонален, а векторов, которые получились методом Лагранжа -нет.

Есть понятие эквивалентности квадратичных форм, и есть понятие ортогональной эквивалентности. Второе — более узкое, то есть, эквивалентные квадратичные формы не обязаны быть ортогонально эквивалентными. Метод Лагранжа даёт эквивалентную квадратичную форму, а (ортонормированный) базис из собственных векторов — ортогонально эквивалентную.

Дело в том что у меня не просто квадратичная форма, а форма, которая описывает поверхность. В итоге я должен буду ее построить. Не искривит ли ее неортогональное преобразование? Просто если квадратичную форму преобразовать, то я встречал два подхода, а вот поверхность к каноническому виду встречал только через собственные значения.

[Lia]

otorvald
Неортогональное - искривит.

Пожалуйста, не злоупотребляйте цитированием.
Кнопка "Вставка" есть для цитирования выбранного фрагмента.
Или просто удаляйте лишнее.