Инъективный оператор

[thething]

Здравствуйте! Подвернулась такая задача: доказать, что оператор $A:L_2[0,\infty)\to L_2[0,\infty)$, действующий по формуле $Ax(t)=\displaystyle\int\limits_0^\infty\dfrac{x(\tau)}{2^\tau+t^2}d\tau$ инъективен.

Понятно, что достаточно доказать, что ядро оператора нулевое. Показал, что оператор компактен, т.е. в спектре обязательно лежит ноль. Можно ли как-то показать, что ноль -- не собственное значение? Также пытался рассматривать скалярное произведение с полиномами Лагерра, но что-то как-то страшно там всё выходит. Или тут вообще в другую сторону думать надо?

[mihiv]

Может быть, можно так: найдем косинус-преобразование Фурье функции $Ax(t)$, после преобразований получим:

$$F_c(z)=\dfrac {2e^{-\frac z2}}{\ln 2}\int \limits _0^{\infty }\dfrac {x(\tau (u))e^{-zu}}{2u+1}du, \text {где} \tau (u)=\dfrac {\ln (2u+1)}{\ln 2}$$

т.е. получили преобразование Лапласа от функции $\dfrac {x(\tau (u))}{2u+1}$. Если $Ax(t)\equiv 0$, то $F_c(z)\equiv 0$ и, следовательно, полученное преобразование Лапласа равно 0. Отсюда $x(t)\equiv 0$, если считать, что для преобразования Лапласа этот факт доказывать уже не нужно.

[thething]

Да, похоже, что всё так. Спасибо. Инъективность преобразования Лапласа вроде бы доказывается, если сделать подходящую замену и воспользоваться аппроксимационной теоремой Вейерштрасса.