Двойной интеграл

[Byffnw]

Здравствуйте, нужно решить интеграл.
\int \frac{\cos x }{ 2\cos x+\sin x }dx

Я пытался сделать универсальную тригонометрическую подстановку \sin{x}=\frac{ 2\tg\frac{ x }{ 2 } }{ 1+\tg(\frac{ x }{ 2 })^{2} } \cos{x}=\frac{ 1-\tg(\frac{ x }{ 2 })^{2} }{ 1+\tg(\frac{ x }{ 2 })^{2} } и сделал замену t=\operatorname{\tg}{\frac{ x }{ 2 } } , где в итоге получилось \int \frac{ 1-t^{2} }{ (1-t^{2}+t) \cdot (1+t^{2}) }dt
Дальше у меня не получилось. Может я где-то ошибся? или надо было по другому делать?

[Otta]

А на косинус поделить и сверху, и снизу не пробовали?
универсальная подстановка тут слишком.

[Pphantom]

Кажется, не ошиблись, и таким путем можно добраться до ответа, но проще было бы сделать замену $z=\tg x$.

[Someone]

Byffnw в сообщении #1453573 писал(а):

Дальше у меня не получилось.

Что значит — "не получилось"? Процедура стандартная: разложить $1+t-t^2$ на множители, потом дробь разложить на простейшие… Канительно, конечно, но проходимо. Немножко проще будет, если не разлагать на множители, а сразу разлагать дробь в сумму двух дробей с квадратными трёхчленами в знаменателях (Это не всегда можно!), но одна из них будет не простейшей. На решение это мало влияет.
Лучше, конечно, как Вам рекомендовали: поделить числитель и знаменатель на $\cos x$.

[Otta]

(Оффтоп)

Но все-таки мне интересно, почему он "двойной" :)

[Утундрий]

(Оффтоп)

Да, это вопрос интересный. Навскидку, потому что... 1) он и сверху интеграл и снизу интеграл; 2) автор его два раза заметил, пока писал название темы; 3) у его внутре́ двой стоитъ

[Byffnw]

Someone
Я просто не подумал дробь на простейшие разложить. Спасибо за совет.

-- 11.04.2020, 16:49 --

Otta

(Оффтоп)

я серьезно написал двойной интеграл и заметил это сейчас.