Бесконечно вложенные радикалы

[dimka21]

Otta в сообщении #1452665 писал(а):

Можно. А дальше?

Ну я тоже могу сказать что мои получили "нашу задачу" и сказать что ответ - любое число.

[mihaild]

dimka21 в сообщении #1452570 писал(а):

Просто с вами начали спорить насчет этого поэтому я пока не стал делать это для себя "понятным".

Начали спорить про интерпретацию исходной записи, про подстановку - только про название перехода.

dimka21 в сообщении #1452570 писал(а):

Но все же, вы привели пример когда "замена переменной" не является равносильным переходом, но это ведь не всегда так?

Замена будет равносильной, если из того, что осталось, можно провести обратную замену.
Например если у нас была система

$$\begin{cases}x^2 + \sin(x) = \cos(y)\\ y = \exp(z)\end{cases}$$

, то можно, подставив $y$ из второго уравнения в первое, получить равносильную систему

$$\begin{cases}x^2 + \sin(x) = \cos(\exp(z))\\ y = \exp(z)\end{cases}$$

Преобразование равносильное: любая тройка $(x_0, y_0, z_0)$, удовлетворяющая первой системе, удовлетворяет и второй, и наоборот.
А вот когда вы подставляете уравнение само в себя - то вы, вообще говоря, получаете не равносильное исходному, а только следствие. Иногда (как в вашем примере) это следствие получается достаточно сильным, чтобы из него можно было что-то извлечь (например найти корни следствия, а потом каждый из них проверить подстановкой в исходное уравнение), иногда (как в моем) следствие получается вообще бесполезным.

-- 08.04.2020, 11:24 --

Otta в сообщении #1452665 писал(а):

А дальше?

А дальше всё то же самое - формула "в пределе" получается опять исходной, а значение каждого конечного члена последовательности - произвольное.

Я не очень понимаю, почему сторонники подхода с неподвижной точкой проигнорировали мой аргумент про цепные дроби.

mihaild в сообщении #1452499 писал(а):

Или у цепной дроби $[1; 1, 1, 1, \ldots]$ тоже два значения? Рассуждения аналогичные, только вместо $10 \sqrt{\cdot}$ используется $1 + \frac{1}{\cdot}$.

[Otta]

dimka21
Можете, но Вы ж хотите бесконечный радикал. Пока он не намечается.

-- 08.04.2020, 13:31 --

mihaild в сообщении #1452675 писал(а):

Я не очень понимаю, почему сторонники подхода с неподвижной точкой проигнорировали мой аргумент про цепные дроби.

Я не проигнорировала. Я так, включилась в общую игру по доказательству того, что не ноль действительно не ноль.

[dimka21]

А это похоже на бесконечный радикал?
$n=\lim\limits_{k \to +\infty}10\underbrace{\sqrt{10\sqrt{10...\sqrt{\frac{n^{2^k}}{10^{2^k}}}}}}_{k\text{ - корней}}$

[Otta]

dimka21
Вы его запишите сперва как бесконечный, тогда и поговорим.

[dimka21]

Otta в сообщении #1452688 писал(а):

Вы его запишите сперва как бесконечный, тогда и поговорим.

А что не так с этой записью?

dimka21 в сообщении #1452687 писал(а):

$n=\lim\limits_{k \to +\infty}10\underbrace{\sqrt{10\sqrt{10...\sqrt{\frac{n^{2^k}}{10^{2^k}}}}}}_{k\text{ - корней}}$

[mihaild]

dimka21 в сообщении #1452691 писал(а):

А что не так с этой записью?

А где тут какой-то бесконечный радикал? Тут предел последовательности чисел, каждое из которых задано конечной формулой.

[Otta]

dimka21
А она похожа на то, что было изначально? Возьмите википедию, в конце концов. Это вполне четкое понятие.

[provincialka]

можно мне тоже подключиться? Как я понимаю ситуацию.

1. Бесконечное число радикалов можно интерпретировать только с помощью предела, предела некоторой последовательности.
2. Интерпретация выражения в виде последовательности неоднозначна. Однако есть некий "разумный" способ. $a_n=10\underbrace{\sqrt{10\sqrt{10...\sqrt{10}}}}_{n\text{ - корней}}$
(этот пункт для меня спорный, но, думаю, для "школьной" задачки его можно принять)
3. Для этой последовательности выполняется рекуррентное соотношение $a_{n+1}=10\sqrt{a_n}$. Если предел последовательности существует, то он удовлетворяет уравнению $a=10\sqrt a$, т.е. равен 0 или 100. Вопрос существования предела надо решать отдельно.
4. Все элементы последовательность больше 1, так что предел не может быть равен 0.
5. Тому же рекуррентному соотношению удовлетворяет последовательность вида $b_n=10\underbrace{\sqrt{10\sqrt{10...\sqrt{a}}}}_{n\text{ - корней}}$
(можно считать, что $a$ стоит на последнем месте, остальные константы равны 10). Если $a>0$, то последовательность стремится к 100 (можно это доказать). Но если $a=0$, то и все $a_n=0$. Это объясняет появление второго корня уравнения.

Можно ещё так сказать: одно рекуррентное соотношение не задает последовательность, нужно ещё начальное условие. Для разных $a_0$ можно получить разные значения предела.

[mihaild]

provincialka в сообщении #1452701 писал(а):

Бесконечное число радикалов можно интерпретировать только с помощью предела, предела некоторой последовательности

Насколько я понимаю подход со стационарными точками, в нем считается что это не просто последовательность радикалов, а итерации одной конкретной функции $f(x) = 10\cdot \sqrt{x}$ (и если бы под радикалами стояли разные числа - он бы был неприменим), запись имеет вид $f \circ f \circ f \circ \ldots$ (актуально бесконечная формула), и обозначает множество стационарных точек $f$.

[Otta]

provincialka в сообщении #1452701 писал(а):

2. Интерпретация выражения в виде последовательности неоднозначна. Однако есть некий "разумный" способ. $a_n=10\underbrace{\sqrt{10\sqrt{10...\sqrt{10}}}}_{n\text{ - корней}}$

Ну если по определению, то так оно и есть :)

provincialka в сообщении #1452701 писал(а):

$a_{n+1}=10\sqrt{a_n}$.

provincialka в сообщении #1452701 писал(а):

4. Все элементы последовательность больше 1, так что предел не может быть равен 0.

В зависимости от начальной точки. Вы как раз это и говорите, но имхо, лучше в другом порядке. Может быть и равен нулю, если начальная точка - ноль. И только тогда.

(Оффтоп)

Ой, все, да я ж не допишу сегодня детям материалы, что ж это :( Чем бы не тешилось, лишь бы не работало.

[dimka21]

mihaild в сообщении #1452675 писал(а):

Замена будет равносильной, если из того, что осталось, можно провести обратную замену.

(1)$10\sqrt{10\sqrt{10...}}=x$
(2)$10\sqrt{x}=x$
Проведем обратную замену:
(2)$10\sqrt{x}=10\sqrt{10\sqrt{x}}=... =$(1)$10\sqrt{10\sqrt{10...}}=x $
Вроде как получается

[mihaild]

dimka21 в сообщении #1452711 писал(а):

Проведем обратную замену:

Нет, вы тут провели бесконечное число замен. По сути как раз перешли к пределу, но т.к. тут члены последовательности зависят от $x$ - то перешли к пределу неправильно.

[dimka21]

mihaild в сообщении #1452713 писал(а):

Нет, вы тут провели бесконечное число замен. По сути как раз перешли к пределу, но т.к. тут члены последовательности зависят от $x$ - то перешли к пределу неправильно.

То есть на самом деле я получил это?
(2)$10\sqrt{x}=10\sqrt{10\sqrt{x}}=... =$$10\sqrt{10\sqrt{...\sqrt{x}}}$

[mihaild]

dimka21 в сообщении #1452725 писал(а):

(2)$10\sqrt{x}=10\sqrt{10\sqrt{x}}=... =$$10\sqrt{10\sqrt{...\sqrt{x}}}$

Только тут многоточие может скрывать лишь конечное (хотя и произвольное) число радикалов. Т.е. вы можете получить такой результат для $1$, $10$, $10^{10^{10}}$ радикалов - для любого конкретного их числа. К пределу переходить нельзя.