Бесконечно вложенные радикалы

[Dan B-Yallay]

nnosipov в сообщении #1452581 писал(а):

А самый внешний корень там не лишний? Или первая десятка справа?

Да, извиняюсь. Я уже исправил.

[slavav]

Запись не правомерна. Правильнее записать так:
$10\sqrt{10\sqrt{10\sqrt{10\sqrt{10\sqrt{10\dots}}}}} = \left(\prod\limits_{k=0}^{n}10^\frac{1}{2^k}\right) \cdot \left(10\sqrt{10\sqrt{10\dots}}\right)^\frac{1}{2^{n+1}}^$.

В правой части можно перейти к пределу. Который равен $100$ если вы предположите что $10\sqrt{10\sqrt{10\dots}} > 0$.
Иначе предел равен нулю.

-- 08.04.2020, 01:31 --

Откуда берётся уверенность что предел больше нуля?

[Dan B-Yallay]

slavav в сообщении #1452584 писал(а):

Запись не правомерна. Правильнее записать так:
$10\sqrt{10\sqrt{10\sqrt{10\sqrt{10\sqrt{10\dots}}}}} = \left(\prod\limits_{k=0}^{n}10^\frac{1}{2^k}\right) \cdot \left(10\sqrt{10\sqrt{10\dots}}\right)^\frac{1}{2^{n+1}}^$.

Что так можно писать, я согласен. Почему правильнее именно так - я не понял.

[slavav]

Потому что я делаю конечное число операций, а вы - бесконечное.
Если бы ваша и моя запись были бы равно корректны мы бы получили одинаковый результат. Но это не так. Кто-то ошибается.

[Munin]

Dan B-Yallay в сообщении #1452574 писал(а):

Правомерна ли запись:

$$ 10\sqrt{10\sqrt{10\sqrt{10\sqrt{10\sqrt{10\sqrt{10\ldots}}}}}} = 10 \cdot 10^{1/2} \cdot 10^{1/4}\cdot 10^{1/8} \cdots \qquad ? $$

Мы тут об этом спорили и не сошлись во мнениях. Так что, кого вы спрашиваете? :-)

[slavav]

Запись, которая делает бесконечное число преобразований за раз и не подтверждена предельным переходом - некорректна.

[Dan B-Yallay]

slavav в сообщении #1452586 писал(а):

Потому что я делаю конечное число операций, а вы - бесконечное.

Мне кажется, если придерживаться подобной строгости, то тогда левая часть тоже не должна иметь такой вид. Коль уж мы соглашаемся с возможностью выполнить бесконечно много операций извлечания корня слева, то не имеет смысла заморачиваться с конечностью операций преобразования справа.

Либо задача должна быть переформулирована в итерационную, но это уже обсудилось ранее и нет смысла повторяться.

[slavav]

Строгости достаточно: для "итерационного" решения нужно только предположение что $10\sqrt{10\sqrt{10\dots}}$ имеет какое-то значение.
Все остальные решения ломаются при попытке выписать предел в явном виде.

[Dan B-Yallay]

slavav в сообщении #1452584 писал(а):

Иначе предел равен нулю.

Извините, я поздно подключился к теме. Это на какой-то странице показано строго?

[slavav]

Предел равен нулю, так как правый множитель равен нулю.

[Dan B-Yallay]

slavav в сообщении #1452594 писал(а):

Предел равен нулю, так как правый множитель равен нулю.

Если Вы про это
$\left(10\sqrt{10\sqrt{10\dots}}\right)^\frac{1}{2^{n+1}}^$.

то я не совсем понимаю, откуда следует, что оно равно нулю.
Показать, что изначальное выражение равно нулю или показать что данный множитель -- это равнозначные задачи, на мой взгляд.

[slavav]

Я поправил "слагаемое" на "множитель". Прошу прощения.
Рассуждения типа: выносим первую десятку, выносим вторую десятку и т.д. оставляют справа множитель. Его можно убрать только если его предел равен единице:
$\lim\limits_{n \to +\infty}\left(10\sqrt{10\sqrt{10\dots}}\right)^\frac{1}{2^{n+1}} = 1$.

-- 08.04.2020, 02:12 --

Но пока не доказано что $10\sqrt{10\sqrt{10\dots}} > 0$.

-- 08.04.2020, 02:14 --

Dan B-Yallay в сообщении #1452595 писал(а):

Показать, что изначальное выражение равно нулю или показать что данный множитель -- это равнозначные задачи, на мой взгляд.

Я и говорю что в процессе решения вы опираетесь на предположение о результате. Замкнутый круг.

[Утундрий]

Давайте я вас окончательно запутаю. Как изменится предел, если сначала там десятки-десятки... А в самом конце - бац! - одиннадцать?

[slavav]

В каком конце? У этой формулы нет конца.

-- 08.04.2020, 02:22 --

Лектор из видео тоже её сворачивал с конца.

[Sicker]

Утундрий в сообщении #1452597 писал(а):

Давайте я вас окончательно запутаю. Как изменится предел, если сначала там десятки-десятки... А в самом конце - бац! - одиннадцать?

Никак, будет равен 100