Бесконечно вложенные радикалы

[dimka21]

mihaild в сообщении #1452297 писал(а):

dimka21 в сообщении #1452284 писал(а):

$10\sqrt{x}=x$

Правильно. Ошибка в переходе к ней. Как вы обосновывали этот переход?

Вот в этом и вопрос! Разве замена переменной не является равносильным переходом?

[mihaild]

dimka21 в сообщении #1452300 писал(а):

Разве замена переменной не является равносильным переходом?

Нет, это дает только следствие (если не остается ничего, позволяющего сделать обратную замену). Представьте, что у вас было уравнение $x = 0$. Вы взяли и заменили $0$ на $x$, получили уравнение $x = x$. Оно конечно следует из исходного, но не равносильно ему.

[dimka21]

Теперь все понятно, спасибо.

[Утундрий]

dimka21 в сообщении #1452307 писал(а):

Теперь все понятно, спасибо.

Тогда советую прямо сейчас, ни на что не отвлекаясь, расписать по пунктам с нуля всё решение.

[dimka21]

Утундрий в сообщении #1452308 писал(а):

Тогда советую прямо сейчас, ни на что не отвлекаясь, расписать по пунктам с нуля всё решение.

Нам нужно найти чему равно $10\sqrt{10\sqrt{10...}}$
Представим это выражение в виде последовательности где $a_n=10^{\frac{1}{2^{n}}}$
Получается $10\sqrt{10\sqrt{10...}}$ = $a_{0}a_{1}a_{2}a_{3}....a_{n}$
Пусть $x=10\sqrt{10\sqrt{10...}}$
$\lim\limits_{n \to \infty}a_n = 1$ значит $x>10$ т.к каждый раз $a_0$ мы умножаем на число больше $1$.
Если $x=10\sqrt{10\sqrt{10...}} => x=10\sqrt{x} => x=0$ или $x=100$
Из ограничений следует что $x=100$.

[nnosipov]

Н-да, первая попытка не очень удачная (Вы смешали две разные идеи решения задачи, получилась каша).

[Munin]

VPro в сообщении #1452214 писал(а):

Очевидно, посторонний корень возник из перехода. Глядя на само уравнение, ясно, что корень, если он есть, строго положителен.

Интересно, каким образом это "ясно".

Впрочем, тут без меня уже выступили серьёзные люди :-)

mihaild в сообщении #1452283 писал(а):

Если в первую строчку подставить $x = 0$, то получится неверное утверждение

Это вы на основании чего так говорите?

(Вашу интерпретацию бесконечной формулы как последовательности я видел, и не считаю обоснованной ничем. Пока.)

-- 07.04.2020 15:20:19 --

mihaild в сообщении #1452303 писал(а):

Нет, это дает только следствие (если не остается ничего, позволяющего сделать обратную замену). Представьте, что у вас было уравнение $x = 0$. Вы взяли и заменили $0$ на $x$, получили уравнение $x = x$. Оно конечно следует из исходного, но не равносильно ему.

Простите, разве это называется заменой переменной? Заменой переменной было бы, если бы в уравнении $x=0$ заменили $x$ на $0,$ и получили бы уравнение $0=0.$ А то, что вы показали - это, конечно, тоже следствие исходного уравнения, но кажется, так не называется.

[dimka21]

nnosipov в сообщении #1452313 писал(а):

Н-да, первая попытка не очень удачная (Вы смешали две разные идеи решения задачи, получилась каша).

А что не так?
У нас есть 2 уравнения
(1) $x=10\sqrt{10\sqrt{10...}}$
(2) $10\sqrt{x}=x$
Уравнение (2) является следствием уравнения (1). Значит нам нужно лишь ввести ограничения на x чтобы понять какой из корней (2) является решением уравнения (1).
Поэтому, чтобы мое первоначальное решение было полным мне нужно было доказать что $x>0$.

[slavav]

Глядя только на (1) и (2) нельзя доказать что $x > 0$. К ним надо что-то добавить.

[dimka21]

Munin в сообщении #1452316 писал(а):

(Вашу интерпретацию бесконечной формулы как последовательности я видел, и не считаю обоснованной ничем. Пока.)

dimka21 в сообщении #1452311 писал(а):

Представим это выражение в виде последовательности где $a_n=10^{\frac{1}{2^{n}}}$
Получается $10\sqrt{10\sqrt{10...}}$ = $a_{0}a_{1}a_{2}a_{3}....a_{n}$

То есть то что я написал неправда?

[mihaild]

Munin в сообщении #1452316 писал(а):

Вашу интерпретацию бесконечной формулы как последовательности я видел, и не считаю обоснованной ничем

Мне эта формализация кажется естественной. Более точно было бы $a_{n + 1} = 10\sqrt{a_n}$, но это то же самое.
Подразумевать под записью с многоточием (за которым скрывается бесконечное число членов) предел последовательности, получаемой заменой многоточия на конечное число членов - вроде бы довольно стандартная практика. Например $x_1 + x_2 + \ldots$.

Munin в сообщении #1452316 писал(а):

Простите, разве это называется заменой переменной?

Я не силен в этой части терминологии, может быть оно иначе называется. Это непринципиально, важно что моя замена аналогична замене ТС (и у него, и у меня какое-то выражение, равное переменной, заменяется самой этой переменной).

dimka21 в сообщении #1452311 писал(а):

Получается $10\sqrt{10\sqrt{10...}}$ = $a_{0}a_{1}a_{2}a_{3}....a_{n}$

Не получается - слева бесконечное число членов, справа конечное.

[Munin]

slavav в сообщении #1452320 писал(а):

Глядя только на (1) и (2) нельзя доказать что $x > 0$. К ним надо что-то добавить.

А имеем ли мы право? Условия задачи, кажется, строго совпадают с (1).

[dimka21]

mihaild в сообщении #1452331 писал(а):

dimka21 в сообщении #1452311 писал(а):

Получается $10\sqrt{10\sqrt{10...}}$ = $a_{0}a_{1}a_{2}a_{3}....a_{n}$

Не получается - слева бесконечное число членов, справа конечное.

Я имел ввиду при $n \to \infty$

[Munin]

mihaild в сообщении #1452331 писал(а):

Мне эта формализация кажется естественной.

Окей. Мне кажется естественной моя формализация ( :-) ), а ваша, как легко заметить, легко теряет решения.

mihaild в сообщении #1452331 писал(а):

Подразумевать под записью с многоточием (за которым скрывается бесконечное число членов) предел последовательности, получаемой заменой многоточия на конечное число членов - вроде бы довольно стандартная практика. Например $x_1 + x_2 + \ldots$.

Насколько я в курсе, нет. С каждым отдельным видом "формулы с многоточием" связывают отдельную теорию. Да, для бесконечных формул со сложением ("рядов") будет так, как вы говорили. Причём тут на каком-то рукомахательном этапе привлекают и ассоциативность знака ``$+$'', и бесконечные ординалы. А встретив какую-то другую формулу с многоточием, надо делать всё заново. Например, $\cos\cos\cos\ldots$ никак не получится вычислить "слева направо".

Приём amon - замена $10\sqrt{10\sqrt{10...}}$ на $\prod\limits_{n=1}^{\infty}10^\frac{1}{2^n}$ - тоже надо ещё обосновать. По сути, он, как и ваш приём, вводит способ вычисления, который в исходной формуле не фиксирован.

[nnosipov]

Munin в сообщении #1452334 писал(а):

Приём amon - замена $10\sqrt{10\sqrt{10...}}$ на $\prod\limits_{n=1}^{\infty}10^\frac{1}{2^n}$ - тоже надо ещё обосновать. По сути, он, как и ваш приём, вводит способ вычисления, который в исходной формуле не фиксирован.

Это тоже стандартный момент: на основе рекуррентной формулы по индукции получаем явную формулу (в простых ситуациях в виде конечного произведения или суммы). Разумеется, новичок в этих делах должен это осознать и суметь проделать.

-- Вт апр 07, 2020 20:17:03 --

dimka21 в сообщении #1452333 писал(а):

Я имел ввиду при $n \to \infty$

Все равно так писать нельзя, я уже поправлял Вас в аналогичной ситуации. Нужно было написать: $x=\lim_{n \to \infty}{a_0a_1\ldots a_n}$.