Бесконечно вложенные радикалы

[nnosipov]

Евгений Машеров в сообщении #1452232 писал(а):

Ложный корень - 0.

А чем он ложный? Он вполне себе корень исходного уравнения. Еще раз: возведение в квадрат может привести к появлению посторонних корней, но не всегда это происходит на самом деле.

[slavav]

VPro в сообщении #1452227 писал(а):

Каждый член последовательности в левой части больше нуля.

Пока вы не определили что написано в левой части, вы не сможете это доказать.
Если мы говорим про предел итераций $y = 10\sqrt{x}$, то ответа два: 0 и 100.
Вы предпочитаете в второй, так как это предел для $x > 0$.
Я не вижу причин отбрасывать первый, так как это предел для $x = 0$.

[nnosipov]

slavav в сообщении #1452238 писал(а):

Пока вы не определили что написано в левой части, вы не сможете это доказать.

Похоже, нас не слышат. Надеюсь, ТС все-таки заглянет в ту книжку, что я рекомендовал.

[Евгений Машеров]

$a_1=\sqrt {10}$
$a_{n+1}=\sqrt{10 a_n}$
Возрастающая последовательность. То есть ноль никак не получается.

[nnosipov]

Евгений Машеров в сообщении #1452243 писал(а):

Возрастающая последовательность. То есть ноль никак не получается.

Именно. Еще бы доказать ее ограниченность (иначе $x$ не число), и все было бы в ажуре.

Да, кстати, а почему она возрастающая? Из рекуррентного соотношения как-то не видно (по крайней мере, не сразу).

[Евгений Машеров]

Очередное значение - среднее геометрическое между предыдущим и 100. То есть оно ближе к 100 и лежит между предыдущим и 100. Если начальное значение принять меньшим 100 - возрастающая. Можно начальное значение взять большим 100, будет убывающая и тоже стремиться к пределу.

[slavav]

Евгений Машеров в сообщении #1452243 писал(а):

$a_1=\sqrt {10}$
...

Как вы это узнали?

[nnosipov]

Евгений Машеров в сообщении #1452243 писал(а):

$a_1=\sqrt {10}$
$a_{n+1}=\sqrt{10 a_n}$
Возрастающая последовательность. То есть ноль никак не получается.

У Вас опечатка в рекуррентном соотношении: надо $a_1=10$ и $a_{n+1}=10\sqrt{a_n}$.

Вообще, насколько помню эту кухню, надо одновременно доказывать и ограниченность, и монотонность.

[mihaild]

Если считать, что последовательность имеет вид $10$, $10\sqrt{10}$, $10\sqrt{10\sqrt{10}}$, ... - то просто явно выписывается $n$-й член последовательности и ничего доказывать не надо (ну кроме предела композиции непрерывных функций).

[nnosipov]

mihaild в сообщении #1452255 писал(а):

просто явно выписывается $n$-й член последовательности

А это случайность, просто повезло.

[dimka21]

slavav в сообщении #1452137 писал(а):

Первый переход не обоснован.

А что не так с первым переходом?
$10\sqrt{10\sqrt{10...}}=x$
То что под первым корнем тоже равно $x$. Значит можно сделать замену.
$10\sqrt{x}=x$
Или все же нет?

[nnosipov]

dimka21
А что за объект находится в левой части первого равенства? Там какое-то таинственное многоточие.

[dimka21]

Ну можно более формально описать этот обьект
$a_1=\sqrt {10}$
$a_{n+1}=\sqrt {10a_{n}}$
$a_{n}=x$ где $n$ стремится к бесконечности

[VPro]

slavav в сообщении #1452238 писал(а):

VPro в сообщении #1452227 писал(а):

Каждый член последовательности в левой части больше нуля.

Пока вы не определили что написано в левой части, вы не сможете это доказать.
Если мы говорим про предел итераций $y = 10\sqrt{x}$, то ответа два: 0 и 100.
Вы предпочитаете в второй, так как это предел для $x > 0$.
Я не вижу причин отбрасывать первый, так как это предел для $x = 0$.

Не усложняйте без нужды, бойтесь братвы Оккама. В левой части, строго говоря, написано $\lim_{n\to\infty}{a_n}$. Вот, Евгений Машеров уже сказал все что нужно:

Евгений Машеров в сообщении #1452243 писал(а):

$a_1=\sqrt {10}$
$a_{n+1}=\sqrt{10 a_n}$
Возрастающая последовательность. То есть ноль никак не получается.

Только одна поправка: $a_1=10,\ a_{n+1}=10\sqrt{a_n}$

[slavav]

dimka21 в сообщении #1452262 писал(а):

Ну можно более формально описать этот обьект
$a_1=\sqrt {10}$
$a_{n+1}=\sqrt {10a_{n}}$
$a_{n}=x$ где $n$ стремится к бесконечности

Так гораздо лучше, только $\lim\limits_{n \to \infty}10a_n = x$.

Важно что вы определили явно $a_1$. Теперь вы ищете предел и задача решена.
Трюк с квадратным уравнением не решет задачу сам по себе. Он лишь позволяет сказать "если задача имеет решение, то это решение не может отличаться от нуля или сотни". После этого задачу надо решить заново, доказав что предел последовательности равен сотне.