Сумма ряда k^n/(k-1)!, k = 1..infinity; где n - N

[kvanttt]

Не мог бы кто-нибудь подсказать, как вычислить сумму ряда
$\frac{k^n}{(k-1)!},\quad k = 1..\infty;$ где n - натуральное число, т.е.
$1 + \frac{2^n}{1!} + \frac{3^n}{2!} + \frac{4^n}{3!} + ... + \frac{k^n}{(k-1)!}$

[Бодигрим]

Так речь идет таки о бесконечной сумме?

Краткости ради, обозначим $ m= n+1$ и перепишем сумму как

$$ S=\sum_{k=0}^{\infty} {k^m\over k!}$$

. Оказалось, что $S = a(m)e$, где, как пишут на http://www.research.att.com/~njas/sequences/A000110, $a(m)$ - число способов разместить $n$ различимых шаров в $n$ неразличимых урн ("ways of placing $n$ labeled balls into $n$ indistinguishable boxes").

Добавлено спустя 4 минуты 28 секунд:

http://mathworld.wolfram.com/DobinskisFormula.html и далее по ссылкам.