Решить ДУ операторным методом

[svv]

Чуть проще так. Учитывая $D y_1^*=2i y_1^*$ и, следовательно, $D^2y_1^*=-4y_1^*$, получаем сразу $(D^2+2D+5)y_1^*=(1+4i)y_1^*$.

Проверьте знаки в выражении для $y_2^*$ в знаменателе.

Учтите, что $17=(1-4i)(1+4i)$, это поможет упростить выражения. В конечном счёте должна получиться линейная комбинация $\cos 2x$ и $\sin 2x$ с вещественными коэффициентами (так, может, эти коэффициенты и надо было сразу находить?).

[H14sk]

Опоздал к теме, но полагаю, кому-то будет интересно, тем более, что путают операторный метод с операционным.
Рассмотрим на примере автора топика: $\[y'' + 2y' + 5y = - 17\sin 2x\]$

Прямой операторный метод нахождения частного решения:

$\[{y_1} = - 17{\mathop{\rm Im}\nolimits} \frac{1}{{D + 1 + 2i}}\frac{1}{{D + 1 - 2i}}{{\mathop{\rm e}\nolimits} ^{2ix}}\]$$\[ = - 17{\mathop{\rm Im}\nolimits} \frac{1}{{D + 1 + 2i}}{{\mathop{\rm e}\nolimits} ^{ - (1 - 2i)\x}}\int_0^x {{{\mathop{\rm e}\nolimits} ^{(1 - 2i)\xi }}{{\mathop{\rm e}\nolimits} ^{2i\xi }}d\xi } \]

$\[ = - 17{\mathop{\rm Im}\nolimits} \frac{1}{{D + 1 + 2i}}{{\mathop{\rm e}\nolimits} ^{2ix}}\]$$\[ = - 17{\mathop{\rm Im}\nolimits} {{\mathop{\rm e}\nolimits} ^{ - (1 + 2i)\xi }}\int_0^x {{{\mathop{\rm e}\nolimits} ^{(1 + 4i)\xi }}d\xi } \]$

$\[ = {\mathop{\rm Im}\nolimits} (1 - 4i){{\mathop{\rm e}\nolimits} ^{2i\xi }}\]$$\[ = {\mathop{\rm Im}\nolimits} (1 - 4i)(\cos 2x + i\sin 2x) = \sin 2x - 4\cos 2x\]$

Проверка:
$\[{\mathop{\rm Im}\nolimits} (1 - 4i)[{D^2} + 2D + 5]{{\mathop{\rm e}\nolimits} ^{2ix}} = {\mathop{\rm Im}\nolimits} (1 - 4i)[1 + 4i]{{\mathop{\rm e}\nolimits} ^{2ix}} = 17{\mathop{\rm Im}\nolimits} (\cos 2x - i\sin 2x)\]$

Примечание: интеграл в формуле $\[\frac{1}{{D - a}}f(x) = \int_0^x {{e^{a(x - \xi )}}f(\xi )d\xi } \]$ рассматривается как первообразная, то есть, без произвольной константы, поскольку, ищем только частное решение.