Тепловой двигатель

[profilescit]

Тепловой идеальный двигатель работает между двумя источниками теплоемкости $C = 500 \frac{J}{K}$ которые находятся изначально при температурах $T_{C} = 625 K $ $T_R = 289 K$
Мощность двигателя изменяется со временем согласно закону $P = P_0 e^{- k \tau}$ где $P_0 = 960 W$
1) Найдите температуру источников при которых двигатель прекратит работу
2) Найдите полную механическую работу совершенную двигателем на протяжении своей работы
3) Найдите время через которое мощность двигателя уменьшится вдвое
4) Найдите время через которое к.п.д. двигателя уменьшится вдвое
5) Найдите время через которое разность температур источников уменьшится вдвое

Мои попытки решения таковы:

Двигатель прекращает работу когда у источников одинаковая температура. Принцип работы двигателя состоит в том что он переносит энергию от более нагретого тела к более холодному. Можем написать закон сохранения энергии.

$C T_C - Q_1 = C T_F$
$C T_R + Q_2 = C T_F$
$Q_1 = A + Q_2$ где $Q_1$ - энергия которую двигатель забрал у более нагретого тела, $Q_2$ - энергия которую двигатель подвел более холодному телу, $A$ - механическая работу которую совершил двигатель
Можно еще записать что $Q_1 = \int\limits_{0}^{\tau_f}P_0 e^{-k \tau} d \tau$ где $\tau_f$ - время работы двигателя

Увы, дальше в решении я не смог продвинутся

[rascas]

profilescit в сообщении #1450918 писал(а):

$Q_1 = \int\limits_{0}^{\tau_f}P_0 e^{-k \tau} d \tau$ где $\tau_f$ - время работы двигателя

Время работы этого двигателя бесконечно. В таком случае вы можете взять этот интеграл?
(И значение это интеграла работа двигателя, а не подведённая теплота!)

[profilescit]

rascas в сообщении #1450925 писал(а):

Время работы этого двигателя бесконечно. В таком случае вы можете взять этот интеграл?
(И значение это интеграла работа двигателя, а не подведённая теплота!)

1) Разве двигатель не прекратит работу когда температуры этих тел сравнятся?
2) Если значение интеграла это работа двигателя $A$, мы можем взять этот интеграл для любого времени, хоть бесконечного.

[rascas]

profilescit в сообщении #1450930 писал(а):

1) Разве двигатель не прекратит работу когда температуры этих тел сравнятся?

Всё верно, двигатель прекратит работу, когда температуры нагревателя и холодильника сравняются, но они сравняются через бесконечное время. А до этого момента температуры будут отличаться.

profilescit в сообщении #1450930 писал(а):

2) Если значение интеграла это работа двигателя $A$, мы можем взять этот интеграл для любого времени, хоть бесконечного.

Нет. Для получения работы этого двигателя мы должны проинтегрировать его мощность за всё время его работы. А оно бесконечно.

[profilescit]

rascas в сообщении #1450934 писал(а):

Всё верно, двигатель прекратит работу, когда температуры нагревателя и холодильника сравняются, но они сравняются через бесконечное время. А до этого момента температуры будут отличаться.

Хотелось бы понять как придти к выводу что двигатель будет работать бесконечно, до меня еще не доходит.

rascas в сообщении #1450934 писал(а):

Для получения работы этого двигателя мы должны проинтегрировать его мощность за всё время его работы.

Да, согласен. Имел в виду что мы можем узнать какую работу совершил двигатель до определенного момента времени.

Сейчас попробую решить с набором данных вами подсказок и уточнений.

[rascas]

profilescit в сообщении #1450936 писал(а):

Хотелось бы понять как придти к выводу что двигатель будет работать бесконечно

Рассмотрите формулу мощности двигателя:

profilescit в сообщении #1450918 писал(а):

Мощность двигателя изменяется со временем согласно закону $P = P_0 e^{- k \tau}$

Двигатель прекратит работу, когда его мощность упадёт до нуля. А в какой момент времени она упадёт до нуля? В момент времени: $\tau = +\infty$. Вспоминайте график экспоненты и какая у него асимптота.

[profilescit]

rascas в сообщении #1450944 писал(а):

Рассмотрите формулу мощности двигателя:
Двигатель прекратит работу, когда его мощность упадёт до нуля. А в какой момент времени она упадёт до нуля? В момент времени: $\tau = +\infty$. Вспоминайте график экспоненты и какая у него асимптота.

С этим проблем у меня нет, просто думал что момент равновесия температур наступит до того как мощность двигателя станет равной нулю.

Решая первый пункт, получил что:

$A = \frac{P_0}{k}$ и $T_f = \frac{T_R+T_C}{2}-\frac{P_0}{2 k C}$
Не ясно лишь что делать с $k$ ведь в задаче не указано его значение.

[DimaM]

profilescit в сообщении #1450946 писал(а):

Решая первый пункт, получил что:

$A = \frac{P_0}{k}$ и $T_f = \frac{T_R+T_C}{2}-\frac{P_0}{2 k C}$
Не ясно лишь что делать с $k$ ведь в задаче не указано его значение.

Это вы использовали закон сохранения энергии (первое начало термодинамики). Но термодинамика - это палка о трех началах.
Если тепловой двигатель работает по циклу Карно, какая еще величина сохраняется в процессе?

[profilescit]

DimaM в сообщении #1451078 писал(а):

Если тепловой двигатель работает по циклу Карно, какая еще величина сохраняется в процессе?

Ну, энтропия не изменится за каждый цикл работы двигателя. Однако, могу ли я предполагать что двигатель работает по циклу Карно?

[Pphantom]

profilescit в сообщении #1451147 писал(а):

Однако, могу ли я предполагать что двигатель работает по циклу Карно?

У вас в условии есть слова

profilescit в сообщении #1450918 писал(а):

Тепловой идеальный двигатель

[profilescit]

DimaM в сообщении #1451078 писал(а):

Если тепловой двигатель работает по циклу Карно, какая еще величина сохраняется в процессе?

Условие что изменение энтропии равна нулю $ \int\limits_{}^{} \frac{\delta Q}{T} = 0$
К сожалению, еще не совсем понимаю как это помогает мне в решении.
$Q$ - приведенное тепло, можно ли записать что $\delta Q = C d T$?
Где $Q = Q_1 + Q_2$
$Q_1 = C d T_1$ и $Q_2 = C d T_2$

Тогда $\int\limits_{T_C}^{T_f} \frac{C d T_1}{T} + \int\limits_{T_R}^{T_f} \frac{C d T_2}{T} = 0$
Из этого получаем что $C \ln{\frac{T_f^2}{T_R T_C}} = 0 $ а значит $T_f = \sqrt{T_R T_C}$

[DimaM]

profilescit в сообщении #1451189 писал(а):

Из этого получаем что $C \ln{\frac{T_f^2}{T_R T_C}} = 0 $ а значит $T_f = \sqrt{T_R T_C}$

Ну вот, пункт 1 решен. Далее, используя ваше выражение из https://dxdy.ru/post1450946.html#p1450946, можно найти $k$ и ответить на остальные вопросы.

[profilescit]

DimaM спасибо, решил и остальные пункты. Если первый правильный - остальные за ним

[DimaM]

profilescit
Задача математически интересная, но физически несколько противоречивая: нулевое приращение энтропии получается, строго говоря, только при нулевой мощности (поскольку требует нулевой разницы температур между рабочим телом и нагревателем/холодильником).