Определение системы порождающих.

[rancid_rot]

Читаю "Курс алгебры" Винберга:
Пусть $S$ - какое-либо подмножество группы $G$. Обозначим через $\langle S \rangle$ совокупность всевозможных произведений вида $g_{1}^{i_{1}}*g_{2}^{i_{2}}*...*g_{k}^{i_{k}}$, где $(g_{1},g_{2},...,g_{k}\in S; i_{1},i_{2},...,i_{k} = \pm 1)$. Это наименьшая подгруппа (!) группы $G$, содержащая $S$.
И тут возникает вопрос, с чего вдруг это подгруппа? По определению из этого же учебника, подгруппа, содержащая элементы $a$ и $b$ должна содержать и $ab$. Пусть $a=g_{1}^1*g_{2}^1*...*g_{k}^1$ и $b=a$, результат не обязательно будет принадлежать $\langle S \rangle$. Читаем дальше:
В частности, если $S$ состоит из одного элемента $g$, то $\langle S \rangle=\langle g\rangle$ есть циклическая подгруппа, порожденная элементом $g$.
Но тогда получается циклическая подгруппа из двух элементов $\lbrace g, g^{-1}} \rbrace$, значит $g^2=1$, чего оговорено не было.
Имеются ли здесь в виду всевозможные произведения всевозможных комбинаций $g_{1}^{i_{1}}*g_{2}^{i_{2}}*...*g_{k}^{i_{k}}$ ? Или диапазон степеней должен быть побольше? Или я чего-то не понимаю?

[Xaositect]

В определении не требуется, что элементы $g_1, \dots, g_k$ различны, они могут повторяться.
Например, $aba^{-1}b^{-1}aaaba \in \left<a,b\right>$

[rancid_rot]

Xaositect в сообщении #1450888 писал(а):

В определении не требуется, что элементы $g_1, \dots, g_k$ различны, они могут повторяться.
Например, $aba^{-1}b^{-1}aaaba \in \left<a,b\right>$

Тогда ясно, спасибо.
Непонятно только, почему автор не захотел просто расширить диапазон степеней на все целые числа. Впрочем, неважно.

[rancid_rot]

rancid_rot в сообщении #1450894 писал(а):

Непонятно только, почему автор не захотел просто расширить диапазон степеней на все целые числа. Впрочем, неважно.

Наверное в связи с тем, что произведение элементов группы не обязано быть коммутативным.