Элементарное дифф. уравнение

[Draeden]

Извиняюсь за школьный вопрос, но решая простейшее д.у. я пришёл к дурацкому ответу. Итак:

$y''+a^2y=0$
$a \ne 0$

$y(x)=c_1e^{-iax}+c_2e^{iax}$

Меня интересуют только вещественные решения, поэтому ответ:

$y_R(x)=(c_1+c_2)cos(ax)$

Таким образом, у д.у. второго порядка нет двух лин. независимых решений. В то время как правильный ответ:

$y_R(x)=c_1cos(ax)+c_2sin(ax)$

Ошибка тривиальная, но я её не вижу...

[Brukvalub]

Draeden в сообщении #145018 писал(а):

Меня интересуют только вещественные решения, поэтому ответ:

$y_R(x)=(c_1+c_2)cos(ax)$

Здесь первая часть фразы, то есть словва: "Меня интересуют только вещественные решения" связана с формулой во второй ее части только грамматически, но никак не математически.

[Draeden]

Значит здесь ошибка ?
Я делал так:

$c_1,c_2 \in \mathbb{R}$
$y(x)=c_1(cos(-ax)+i sin(-ax))+c_2(cos(ax)+ i sin(ax)) = (c_1+c_2)cos ax + i(c_2-c_1)sin ax$

[Brukvalub]

А почему вещественная часть является решением, а мнимая (то, что является множителем при мнимой единице) - нет?

[ewert]

Draeden писал(а):

Я делал так:

$c_1,c_2 \in \mathbb{R}$

Т.е. вот именно тут и ошибка.

[Draeden]

Попробую тогда так:

$c_1=a_1+ib_1,c_2=a_2+ib_2$

$x \in \mathbb{R}$
$y(x) = (a_1+ib_1)e^{-iax}+(a_2+ib_2)e^{iax}$
$Re(y(x)) = (a_1+a_2)cos(ax)+(b_1-b_2)sin(ax)$

Мды... к концу обучения, на пятом курсе, я буду в уме находить коэффициенты ряда Фурье, но забуду как решать квадратное уравнение