2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Простая задача по теории чисел
Сообщение31.03.2020, 18:06 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
Да уж, хитро. Где-то я подобный фокус (с числами Ферма, кажется; на какой-то украинской олимпиаде было) уже видел.

Upd. Вот здесь (см. решение задачи 10): https://dxdy.ru/topic89236.html.

 Профиль  
                  
 
 Re: Простая задача по теории чисел
Сообщение31.03.2020, 19:04 


27/01/16
86
$703 = 19 \cdot 37$
К чему меня это должно натолкнуть ?

 Профиль  
                  
 
 Re: Простая задача по теории чисел
Сообщение31.03.2020, 19:17 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
vatrushka
Соотнесите множители с числом $3^3=27$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Простая задача по теории чисел
Сообщение31.03.2020, 19:32 


27/01/16
86
$(3^3+ 3^2 + 1) \cdot( 3^3 - 3^2 - 1)$

 Профиль  
                  
 
 Re: Простая задача по теории чисел
Сообщение31.03.2020, 19:37 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
Ну вот, только скобки расставьте, а то непонятно. И, конечно, в общем виде напишите.

 Профиль  
                  
 
 Re: Простая задача по теории чисел
Сообщение31.03.2020, 19:51 
Заслуженный участник


04/05/09
4582
vatrushka в сообщении #1449950 писал(а):
$(3^3+ 3^2 + 1) \cdot( 3^3 - 3^2 - 1)$

$(3^3+ 3^2 + 1) \cdot( 3^3 - 3^2 + 1)$

 Профиль  
                  
 
 Re: Простая задача по теории чисел
Сообщение01.04.2020, 11:11 


27/01/16
86
В общем, всем спасибо, я понял
${(3^{3^n})}^2 - 3^{3^n} + 1 = (3^{3^n} + 3^{\frac{3^n+1}{2}} + 1) \product  (3^{3^n} - 3^{\frac{3^n+1}{2}} + 1) $

 Профиль  
                  
 
 Re: Простая задача по теории чисел
Сообщение01.04.2020, 15:26 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
vatrushka в сообщении #1449859 писал(а):
Может быть скажете откуда она берется?
Вопрос о взаимной простоте сомножителей в произведении
vatrushka в сообщении #1449826 писал(а):
$$3^{(3^n)} + 1 = (3^{3^{(n-1)}} + 1) \cdot ( {{(3^{3^{(n-1)}})}^2} - (3^{3^{(n-1)}}) + 1)$$
$$a^3+1=(a+1)(a^2-a+1)=(a+1)((a+1)^2-3a)$$ Числа $a$ и $a+1$ взаимно простые. Поэтому, если $a+1$ делится на $3$, то $\mathop{\mathrm{\text{НОД}}}(a+1,a^2-a+1)=3$, если же $a+1$ не делится на $3$, то $\mathop{\mathrm{\text{НОД}}}(a+1,a^2-a+1)=1$. У нас $a=3^{3^{n-1}}$, и при $n>0$ число $a+1$ на $3$ не делится.

Если обозначить $$A_n=3^{3^n}+1,$$ то приведённое выше разложение при $n>0$ можно записать в виде $$A_n=A_{n-1}\left(\left(3^{3^{n-1}}\right)^2-3^{3^{n-1}}+1\right).$$ Отсюда можно вывести, что все числа вида $\left(3^{3^{n-1}}\right)^2-3^{3^{n-1}}+1$ при разных $n>0$ попарно взаимно просты.
Кроме того, множители в разложении $$\left(3^{3^{n-1}}\right)^2-3^{3^{n-1}}+1=\left(3^{3^{n-1}}-3^{\frac 12(3^{n-1}+1)}+1\right)\left(3^{3^{n-1}}+3^{\frac 12(3^{n-1}+1)}+1\right)$$ тоже взаимно простые, так как они не делятся ни на $2$, ни на $3$, а их разность равна $2\cdot 3^{\frac 12(3^{n-1}+1)}$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 23 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group