Представление степеней натуральных чисел в виде сумм.

[fluctuationMan]

Мне известны суммы, представляющие степени натуральных чисел для $n^2$ и $n^3$.
Существуют ли суммы для степеней больше 3?

[kotenok gav]

post1449054.html#p1449054

[Lia]

fluctuationMan
Нельзя ли понятнее? что Вам известно, чему равна сумма квадратов $\sum_{k=1}^n k^2$ или что-то другое?
А то ведь каждый будет понимать по-своему.

[fluctuationMan]

Спасибо, kotenok gav

-- 31.03.2020, 19:07 --

Lia в сообщении #1449907 писал(а):

fluctuationMan
Нельзя ли понятнее? что Вам известно, чему равна сумма квадратов $\sum_{k=1}^n k^2$ или что-то другое?
А то ведь каждый будет понимать по-своему.

Я имел в виду тот факт, что:
$n^2 = 1 + 3 + 5 + ... + 2n - 1$
$n^3$ определяется теоремой Никомаха
$2^3 = 3 + 5$
$3^3 = 7 + 9 + 11$

$...$

[arseniiv]

А, ну тогда тривиально. Во-первых мы каждую обычную степень $x^m$ можем выразить как линейную комбинацию нисходящих факториальных степеней $x^{\underline n} := x(x-1)\ldots(x-n+1)$ (ровно $n$ множителей) с показателями не выше $m$; и наоборот. В отличие от обычных, такие степени суммируются на ура, и повторяют то, что творится с обычными степенями при интегрировании. Теперь можно легко узнать, что надо засунуть под сумму, чтобы на выходе получить одну обычную степень. (И ещё легче узнать, чем будет сумма $x^m$ по $m$.) Можно даже для общего случая, но там полезут числа Стирлинга всякие, скорее всего люди с праздным интересом к ним не готовы.

[Igor Isid]

Все довольно просто.
Рассмотрим $(k + 1)^2 = k^2 + 2k + 1$
Тогда при $k = 1$
$1^2 + (2\times1 +1) = 1 + 3$
Получили $2^2$.
Несложный переход
$1^2 + (2\times1 +1) + (2\times2 +1) + ... = 1 + 3 + 5 + ...$
Получается просто бесконечная формула квадрата суммы.
Используя эту идею и немного знаний из комбинаторики получаем формулу описывающую
разложение любой натуральной степени в ряд:

$$\sum_{k=1}^{m} K(n) = m^n$$

$$K(n) = \sum_{x=1}^{n} \binom{n}{x} k^{n-x}(-1)^{x+1}$$

Где $\binom{n}{x} = \frac{n!}{x!(n-x)!}$ (Биномиальный коэффицент)