Обратная задача теплопроводности

[Babeuf]

Здравствуйте.
Хочу решить обратную задачу теплопроводности - восстановление плотности теплового потока, по измеренным значениям температуры.

Формулировка задачи: Полубесконечное тело в начальный момент времени находится при температуре $T_0$, затем включается тепловой поток $q(t)$, $q(0)=0$. Распределение температуры $T(0,t)$ — известно. Найти плотность теплового потока, когда:

а) $T(0,t)$ — задана аналитически
б) $T(0,t)$ — задана дискретно в моменты времени $t_i$. Оценить плотность теплового потока идущего на полубесконечное тело, считая что тело не прогревается вглубь, по $x$
в) $T(0,t)$ — задана дискретно в моменты времени $t_i$. Оценить плотность теплового потока идущего на полубесконечное тело, и распределение температуры по $x$ в моменты времени $t_i$.

Собственно решение:
Для случая а) — Решение для полубесконечного тела при $x=0$ выглядит, согласно Карслоу и Егеру:
$T(t)=T_0+\frac {1} {\sqrt{K \pi \rho C_p}} \int\limits_0^{t}\frac {q(\tau)} {\sqrt {t - \tau}} {d \tau} $, где
$K$ — теплопроводность, $C_p$ — теплоёмкость, $\rho$ — плотность материла, из которого сделано полубесконечное тело.
применяя преобразование Лапласса можно получить формулу для расчёта плотности теплового потока:
$q(t)=q(0)+\frac {\sqrt{K \pi \rho C_p}} {\pi} \int\limits_0^{t}\frac {\frac {d {T(\tau)}} {d {\tau}}} {\sqrt {t - \tau}} {d \tau} $

Вопрос состоит в том, как поступить в случае б), если известно что $T_i[t_i]$ — немонотонная? — Насколько я понимаю, можно, в принципе, не решать обратная задачу, коль скоро задана температура поверхности $T(0,t)$, то её можно представить как граничное условие Дирихле и решать задачу, например, методом конечных элементов — так ли это?

[Utkonos]

Babeuf, Ваше предположение не совсем верно. Свести описываемую задачу к задаче Дирихле невозможно. Дело в том, что задача Дирихле - для стационарных(!), т.е. не зависящих от времени эллиптических уравнений, тогда как Ваша задача описывается параболическим уравнением теплопроводности.

[Babeuf]

Utkonos в сообщении #1449454 писал(а):

Babeuf, Ваше предположение не совсем верно. Свести описываемую задачу к задаче Дирихле невозможно. Дело в том, что задача Дирихле - для стационарных(!), т.е. не зависящих от времени эллиптических уравнений, тогда как Ваша задача описывается параболическим уравнением теплопроводности.

Спасибо за ответ!

Я смог решить задачу для случая б) по оценке плотности теплового потока. Для этого использовал численную аппроксимации и коэффициенты чувствительности, подробное описание такого подхода нашел в книги Дж. Бека "Некорректные обратные задачи теплопроводности". Разумеется, как и предупреждал автор, я столкнулся с тем, что подобное решение крайне чувствительно к погрешностям измерений.

С этой напастью тоже удалось побороться с помощью алгоритма последовательного оценивания значений $q_i$ (т.е. значений плотности теплового потока в определённый момент) с использованием сингулярного разложения матрицы коэффициентов чувствительности ("Sequential SVD algorithm").

Однако, возникла новая проблема. Дело в том, что в подобных алгоритмах $q$ оценивается не в момент времени измерений температуры, назовём их $t_i$. А в промежутке между ними, назовем их $\tau_j$, т.е. $t_1<\tau_1<t_2$ , $t_2<\tau_2<t_3$, и т.д.
Короче говоря, вопрос в следующем: есть ли какой-нибудь способ выбора оптимального расположения $\tau_j$ на отрезке $[t_i,t_i+1]$?
Например, я использовал расположение $\tau_j$ посередине, но эмпирически выяснил, что для моей модельной задачи результат будет лучше, если сдвинуть $\tau_j$ ближе $t_i+1$.