Перелёты на малой тяге

[Утундрий]

Вспомнил как некогда возился, тщась осознать сабдж. Записал, стало быть, принцип максимума Понтрягина, попренебрегал всем, чем можно и принялся с круговой орбиты стартовать. Накопал много занимательных орбит, но общей закономерности так и не уловил (в виду отсутствия оной, скорее всего). Так вот, вопрос: как это всё делается по-взрослому? Чтоб супер-компьютер! Чтоб ни шанса на понимание!

[Sender]

А что оптимизировали-то? Если говорить об экономии топлива, чем плох метод сжигать топливо в моменты пролёта через перицентр, тем самым мало-помалу сдвигая апоцентр в желаемую позицию? По крайней мере, такое решение подсказывает мой бесценный опыт в Kerbal space program.

[Pphantom]

Утундрий в сообщении #1446673 писал(а):

Так вот, вопрос: как это всё делается по-взрослому?

По большому счету, никак. За пределы коррекции орбит практическое применение не вышло.

[Red_Herring]

Pphantom в сообщении #1446782 писал(а):

За пределы коррекции орбит практическое применение не вышло.

Смотря что называть коррекцией. Сейчас большинство спутников на геостационаре выводятся на более низкую орбиту, а потом добирают сами. То же со Старлинками.

[Pphantom]

Red_Herring в сообщении #1446808 писал(а):

Сейчас большинство спутников на геостационаре выводятся на более низкую орбиту, а потом добирают сами. То же со Старлинками.

Как раз это. Пока КА сидит в сфере действия какого-то одного тела (в данном случае - Земли), все намного проще, поскольку решение легко представляется в виде медленно изменяющихся кеплеровых параметров эллиптической орбиты. Все прелести начинаются при выходе из сферы действия.

[ShMaxG]

Pphantom в сообщении #1446782 писал(а):

За пределы коррекции орбит практическое применение не вышло.

Не правда. Малый европейский аппарат SMART-1 летел с геопереходной орбиты на окололунную орбиту с использованием малой тяги и резонансных сближений с Луной. И аппарат в миссии BepiColombo на Меркурий тоже снабжен двигателем малой тяги.

-- Вт мар 24, 2020 18:17:45 --

Утундрий в сообщении #1446673 писал(а):

Так вот, вопрос: как это всё делается по-взрослому?

Не понял вопрос. Что именно делается по-взрослому? Как оптимизировать траектории с малой тягой? Методов и статей по этому поводу огромное количество.

Если говорить кратко, то все методы оптимизации траекторий с малой тягой условно делятся на два класса: прямые и непрямые методы. В прямых методах функция управления и траектория дискретизируются и задача оптимального управления сводится к задаче нелинейного программирования, т.е. с конечным числом переменных. В непрямых методах используются вариационные методы и принцип максимума Понтрягина. Задача оптимального управления сводится к системе нелинейных уравнений, которая решается численно. Если витков мало, то краевая задача обычно может быть решена обычным методом Ньютона. Если витков много, то обычными методами не обойтись.

В случае когда оптимизируется интеграл квадрата реактивного ускорения, существует регулярный метод решения с помощью методов продолжения по гравитационному параметру. Если оптимизировать интеграл модуля ускорения, то там все сложнее. В России есть большой специалист по оптимизации траекторий с малой тягой, Петухов В.Г. Его статьи можно читать, там написано как это делать "по-взрослому".

Если речь идет не про оптимизацию, а про аналитическую аппроксимацию траекторий с малой тягой, то есть такие, можно очерки Белецкого глянуть. Но в общем случае результатов нет, а те что есть для частных случаев слишком частные.

[Pphantom]

ShMaxG в сообщении #1446847 писал(а):

Не правда. Малый европейский аппарат SMART-1 летел с геопереходной орбиты на окололунную орбиту с использованием малой тяги и резонансных сближений с Луной.

... и это тоже движение в сфере действия Земли.

ShMaxG в сообщении #1446847 писал(а):

И аппарат в миссии BepiColombo на Меркурий тоже снабжен двигателем малой тяги.

Снабжен не только он, есть/были и другие КА, но это не совсем тот случай, который, насколько я понимаю, интересует ТС.

[Утундрий]

ShMaxG в сообщении #1446847 писал(а):

В непрямых методах используются вариационные методы и принцип максимума Понтрягина. Задача оптимального управления сводится к системе нелинейных уравнений, которая решается численно.

Вот чем-то таким я игрался:

$$\[ \left\{ {\begin{array}{lll} {{\mathbf{\ddot r}} = - \dfrac{{\mathbf{r}}} {{r^3 }} + f\dfrac{{\mathbf{u}}} {u}} \\ {{\mathbf{\ddot u}} = \dfrac{{3{\mathbf{rr}} \cdot {\mathbf{u}} - r^2 {\mathbf{u}}}} {{r^5 }}} \\ \end{array} } \right. \] $$

Фиксировав параметр $f$, остаёмся с четырьмя константами (одна их которых длительность работы движка $T$). Несмотря на столь невеликую размерность, поведение "интересных" характеристик типичных задач (вышвырнуть из/зашвырнуть к/уронить на) крайне заковыристо меняется при изменении параметров. В связи с этим, два направления думанья: 1) какие задачки уместно ставить, чтобы топология этого безобразия стала роднее и ближе; 2) что там в реальности делается? Т.е., какие $T$ и $f$ сейчас в принципе достижимы.

P.S. При использованном обезразмеривании $f$ выражается в долях ускорения свободного падения на центр на уровне стартовой круговой орбиты, а $T$ - в "годах" стартовой орбиты.

[ShMaxG]

Утундрий в сообщении #1446888 писал(а):

Т.е., какие $T$ и $f$ сейчас в принципе достижимы.

Типичные значения реактивного ускорения $f$ -- от 0.1 мм/с^2 до 0.2 мм/с^2. Можете пересчитать в терминах $g$. Время работы двигателя $T$ очень сильно зависит от двигателя, в пределах от 2000 ч до 15000 ч и возможно даже больше.

-- Вт мар 24, 2020 20:49:29 --

Утундрий в сообщении #1446888 писал(а):

какие задачки уместно ставить, чтобы топология этого безобразия стала роднее и ближе

Честно говоря, я все равно не понимаю, что Вы хотите, какие задачи решать. Что за "интересные характеристики типичных задач"? Типичные задачи, связанные с расчетом траекторий с малой тягой -- это поиск оптимальных траекторий (обычно -- по затратам топлива или по времени), удовлетворяющих каким-то пространственным или временным ограничениям. Эти задачи решаются численно (ну кроме быть может каких-то вырожденных случаев) и в каждом случае специально подобранным методом. Может быть Вас интересуют вопросы типа "Сколько минимально времени необходимо потратить на раскрутку траектории, прежде чем она выйдет за какую-то область?". В случаях, когда старт с круговых орбит, а тяга направлена вдоль скорости, существуют оценки и прикидки, для того чтобы их вывести обычно достаточно посмотреть на уравнения орбитального движения в оскулирующих элементах. Это какие-то классические работы, правда, ссылку я точную не знаю.

[Утундрий]

ShMaxG в сообщении #1446910 писал(а):

Типичные значения реактивного ускорения $f$ -- от 0.1 мм/с^2 до 0.2 мм/с^2. Можете пересчитать в терминах $g$. Время работы двигателя $T$ очень сильно зависит от двигателя, в пределах от 2000 ч до 15000 ч и возможно даже больше.

Если это пересчитать тупо (а я не знаю как умно, не вдаваясь в детали устройства движков), то получится что можно натянуть $ f \sim 0.02 и $ T \sim 2$.

ShMaxG в сообщении #1446910 писал(а):

Честно говоря, я все равно не понимаю, что Вы хотите, какие задачи решать.

Мне хотелось бы в общих чертах понять как параметры результирующей кеплеровой орбиты зависят от параметров задачи. Понять в целом, потому что пока такого понимания нет.

Технической же стороны получения каждой отдельной траектории я не касаюсь вовсе, в виду её тривиальности.

[ShMaxG]

Утундрий в сообщении #1446917 писал(а):

Мне хотелось бы в общих чертах понять как параметры результирующей кеплеровой орбиты зависят от параметров задачи. Понять в целом, потому что пока такого понимания нет.

Понятно. Ну, могу предложить смотреть на $\mathbf{r}$ и $\mathbf{\dot{r}}$ в конечный момент времени $T$ как на решение уравнений в вариациях относительно параметра $f$. Уравнения там, конечно, будь здоров, все очень не просто. Но поизучать их интересно, да. Я не видел, чтобы кто-то глубоко аналитику в этом направлении изучал.

Можно еще работать не в декартовых переменных, а в оскулирующих элементах, ну т.е. записать дифференциальные уравнения на большую полуось, эксцентриситет, фокальный параметр, наклонение орбиты, в правые части которых входит реактивное ускорение и параметр $f$. Правда уравнения тут сложнее, а уравнения в вариациях так и подавно.

И кстати, судя по уравнениям Вы наверное оптимизируете квадратичный функционал

$$\int\limits_{0}^T |\mathbf{u}|^2\,dt\to\min,$$

где $\mathbf{u}$ -- реактивное ускорение без ограничений на норму $|\mathbf{u}|$. Но тогда $u=f$ у Вас, нет? И фиксировать $f$ не получится. Так какой у Вас функционал?

[Утундрий]

ShMaxG в сообщении #1446923 писал(а):

какой у Вас функционал?

Да просто длительность. $\mathbf{u}$ - сопряжённые переменные (те, что у Понтрягина обозваны $\psi$).

Давайте для конкретики зафиксируем имена констант, чтобы можно было предметно говорить о каких-то частных решениях. Итак, мы стартуем в момент $t=0$ из точки ${\mathbf{r}} = \left\{ {1,0} \right\}$ со скоростью ${\mathbf{\dot r}} = \left\{ {0,1} \right\}$, задавая там же ${\mathbf{u}} = \left\{ {\cos \alpha ,\sin \alpha } \right\}$ и ${\mathbf{\dot u}} = \left\{ {A,B} \right\}$. И вырубаем движок в момент $t=2 \pi T$. После чего смотрим, что за орбита получилась.

Давайте заодно и кличку для траекторий введём: $[T,~f](\alpha ,~A,~B)$

Так, если я нигде не напахал, $[1,~0.1](-90.3 ,~ 0.34 ,~ 0.65)$ соответствует переходу на почти круговую орбиту радиуса $0.42$.

[Утундрий]

Утундрий в сообщении #1446930 писал(а):

$[1,~0.1](-90.3 ,~ 0.34 ,~ 0.65)$ соответствует переходу на почти круговую орбиту радиуса $0.42$.

Тому, кто захочет это подтвердить (ну или опровергнуть, мало ли), добавлю ещё один проверочный вопрос: Куда приведёт корабль программа $[0.77,~0.2](127,~ 0.46 ,~ 0.28)$?

[Утундрий]

Утундрий в сообщении #1449083 писал(а):

Куда приведёт корабль программа $[0.77,~0.2](127,~ 0.46 ,~ 0.28)$?

Ответ: корабль упадёт на центр.