Гомоморфизмы группы вещественных чисел в себя

[er]

Вопрос: как устроены гомоморфизмы группы $(\mathbb{R},+)$ в себя?

Понятно, что если $\varphi: \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ непрерывный гоморфизм,
то $\varphi(x)=kx$ для некоторого $k\in \mathbb{R}$ и всех $x\in \mathbb{R}$.
Также несложно проверить, что если $\varphi$ ограничен на некоторой окрестности
$0$, то $\varphi$ тоже будет умножением на некоторое $k\in \mathbb{R}$.

Понятно также, что существуют разрывные гоморфизмы $\mathbb{R}\to \mathbb{R}$.
Можно рассматривать $\mathbb{R}$ как векторное пространство над $\mathbb{Q}$
и тогда линейных операторов из $\mathbb{R}$ в $\mathbb{R}$ над $\mathbb{Q}$ больше континуума,
следовательно, есть операторы, отличные от умножения на $k$.

Непонятно, что будет, если $\varphi$ измеримая (или даже борелевская) функция.

\newtheorem*{question}{Вопрос} \begin{question} Верно ли, что измеримый (борелевский) гоморфизм групп $\varphi: \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ непрерывен? \end{question}

Кажется, на этот вопрос должны были ответить давно, но я не помню чтоб встречал..

[Руст]

Это похоже верно. Находим базис R над Q содержащий 1. И отобразим все на первую координату, соответствующую 1 (по остальным 0). Получится неизмеримое разрывное отображение. Общий случай сводится к этому.

[er]

Это более конструктивный пример разрывного гомоморфизма. Тоже думаю, что неизмерим. Но доказывать как? Наверно теорему Лузина надо использовать, что измеримая функция на "большом" множестве непрерывна. То что к примеру общий случай сводится, сомнительно.

[Руст]

На самом деле всё, что выходит за пределы счётного множества имеет оттенок проблем теории множеств. Я не специалист в этих делах, но в свете того, что здесь обсуждается Котофеичом тут дела скверны.
А пример этот указывает, что точек разрыва функции неизмеримое множество. Для строгого доказательства требуется привлечь эти скверные несчётные множества (базис не счётный). Да и любой другой пример так же задается некоторым базисом R над Q и поэтому в некотором смысле сводится к этому.

[shwedka]

Вопрос старый, классический.
Основной результат: если функция измерима или ограничена , будучи суженной на некоторое измеримое множество положительной меры , то это стандартная линейная функция. Есть обобщения на разностные уравнения высшего порядка, на высокую размерность...
Этим занимался еще Хаусдорф, приличное изложение есть в S. Mazur and W. Orlicz [Studia Math. 5
(1934), 50–68; ibid. 5 (1934), 179–189]
самые общие результаты:
McKiernan, M. A.
Aequationes Math. 4 (1970), 31–36.
Из источников по-русски, по-моему, вопрос обсуждается в книге 'Гелбаум, Олмстед, контрпримеры в анализе'

[er]

Руст писал(а):

На самом деле всё, что выходит за пределы счётного множества имеет оттенок проблем теории множеств. Я не специалист в этих делах, но в свете того, что здесь обсуждается Котофеичом тут дела скверны.

Если ZFC противоречива, то то, чем я занимаюсь, затронет очень сильно..

Посмотрим. Вообще то, логиков, которые моделями в ZFC занимаются, достаточно много. И у них весьма сложная и техничная математика. То что они просмотрели сравнительно несложное и естественное доказательство противоречивости ZFC, кажется удивительным. Опубликует Котофеич свое доказательство, пусть проверяют.

А если он прав, встанет в один ряд с Геделем и Коэном, я думаю.

Руст писал(а):

А пример этот указывает, что точек разрыва функции неизмеримое множество. Для строгого доказательства требуется привлечь эти скверные несчётные множества (базис не счётный). Да и любой другой пример так же задается некоторым базисом R над Q и поэтому в некотором смысле сводится к этому.

Да, пожалуй, если получить доказательство для примера, то его можно модифицировать для общего случая, кажется.

shwedka писал(а):

Вопрос старый, классический.
Основной результат: если функция измерима или ограничена , будучи суженной на некоторое измеримое множество положительной меры , то это стандартная линейная функция. Есть обобщения на разностные уравнения высшего порядка, на высокую размерность...
Этим занимался еще Хаусдорф, приличное изложение есть в S. Mazur and W. Orlicz [Studia Math. 5
(1934), 50–68; ibid. 5 (1934), 179–189]
самые общие результаты:
McKiernan, M. A.
Aequationes Math. 4 (1970), 31–36.
Из источников по-русски, по-моему, вопрос обсуждается в книге 'Гелбаум, Олмстед, контрпримеры в анализе'

спасибо

[shwedka]

Uточнила.
У Gелбаума это обсуждается на 47 странице. Если функцие линейная, нестандартная, то ее график плотен на плоскости. Гелбаум дает ссылку на исчерпывающее описание проблемы,
P. Boas, primer of real functions, Wiley, 1960

[er]

Немного более общий вопрос.

Для $t\in\mathbb{R}$ обозначим $T_t:\mathbb{R}^\mathbb{R}\to \mathbb{R}^\mathbb{R}$ (здесь, $\mathbb{R}^\mathbb{R}$ --- функции из $\mathbb{R}$ в $\mathbb{R}$) сдвиг функций на $t$: $T_t(f)(x)=f(x+t)$ для $x,t\in \mathbb{R}$ и $f\in \mathbb{R}^\mathbb{R}$.

Пусть $L\subset \mathbb{R}^\mathbb{R}$ конечномерное линейное подпространство, инвариантное относительно сдвигов, т.е. $T_t(L)=L$ для $t\in \mathbb{R}$.

Верно ли, что если $L$ состоит из измеримых функций, то функции из $L$ непрерывны?

Если функции из $L$ непрерывны, то они бесконечно диференцируемы и являются решениями системы линейных диференциальных уравнений.

Первоначальный вопрос - частный случай этого.

Разностные уравнения высшего порядка - это не это как раз?

[shwedka]

В статье McKiernan, M. A.
Aequationes Math. 4 (1970), 31–36.
это тоже обсуждается

[er]

shwedka писал(а):

В статье McKiernan, M. A.
Aequationes Math. 4 (1970), 31–36.
это тоже обсуждается

еще раз спасибо, за столь исчерпывающию информацию