IUHD 3rd Open Olympiad: нетривиальный ряд

[Alexander Evnin]

Из того же источника https://iuhd.edu.tm/competition/7

Вычислить

$$\sum_{n=1}^\infty\left((2n-1)(\sum_{k=n}^\infty\frac1{k^2})-2\right).$$

[nnosipov]

У меня получилось $-1/2$, при этом понадобилась такая формула

$$\frac{1}{N^2}+\frac{1}{(N+1)^2}+\ldots=\frac{1}{N}+\frac{1}{2N^2}+O\left(\frac{1}{N^3}\right), \quad N \to \infty$$

(частный случай формулы Эйлера-Маклорена).

[Farest2]

Вроде, $\tfrac12$. Подход тот же, что и в https://dxdy.ru/post1428300.html#p1428300 -- частичные суммы,

$$ S_N=\sum_{n=1}^N \biggl\{(2n-1)\Bigl(\sum_{k=n}^\infty \frac{1}{k^2}\Bigr)-2\biggr\}, $$

и преобразование до "просветления". Когда всё станет ясно, переходим к пределу.

Судя по всяким внезапным упрощениям, существует и более простой вариант решения, хотя с Маклореном получается быстрее.

Upd. Всё-таки, $-\tfrac12$ (в одном месте суммирование с нуля начал, а не с 1).

[nnosipov]

Farest2 в сообщении #1446734 писал(а):

частичные суммы

Да, в частичной сумме я поменял порядок суммирования и т.д. Возможно, где-то потерял знак. В общем, вполне стандартная задача, без сюрпризов.

[Alexander Evnin]

Идею

Цитата:

Farest2

об изменении порядка суммирования можно реализовать так.
Заметим, что $2=(2n-1)\sum\limits_{k=n}^\infty\frac4{4k^2-1}$. Поэтому искомая сумма равна

$$-\sum_{n=1}^{\infty} (2n-1) \sum_{k=n}^{\infty}\frac1{k^2(4k^2-1)}.$$

Поменяв порядок суммирования,
получим с помощью телескопического суммирования $-S=\sum\limits_{k=1}^\infty\frac1{4k^2-1}=\frac12$.

[nnosipov]

Alexander Evnin в сообщении #1447841 писал(а):

Заметим, что $2=(2n-1)\sum\limits_{k=n}^\infty\frac4{4k^2-1}$.

Однако У меня вот все по-простому, без озарений. Пусть $a=\sum_{k=1}^\infty k^{-2}$. Тогда

$$ S_N=\sum_{n=1}^N\left((2n-1)\sum_{k=n}^\infty\frac{1}{k^2}-2\right)= \sum_{n=1}^N\left((2n-1)\left(a-\sum_{k=1}^{n-1}\frac{1}{k^2}\right)-2\right)= $$

$$ =aN^2-2N-\sum_{n=1}^N\sum_{k=1}^{n-1}\frac{2n-1}{k^2}= aN^2-2N-\sum_{k=1}^{N-1}\sum_{n=k+1}^N\frac{2n-1}{k^2}= $$

$$ =aN^2-2N-\sum_{k=1}^{N-1}\frac{N^2-k^2}{k^2}=N^2\sum_{k=N}^\infty\frac{1}{k^2}-N-1= $$ $$ =N^2\left(\frac{1}{N}+\frac{1}{2N^2}+O\left(\frac{1}{N^3}\right)\right)-N-1=-\frac{1}{2}+O\left(\frac{1}{N}\right), \quad N \to \infty. $$

[Alexander Evnin]

Всё-таки у меня решение ощутимо короче. А к "озарению" приходишь естественными рассуждениями.

[nnosipov]

Alexander Evnin в сообщении #1447852 писал(а):

А к "озарению" приходишь естественными рассуждениями.

Охотно верю. Интересно, есть ли другие варианты представить двойку в подобном виде?

[Alexander Evnin]

Если записать $2=(2n-1)\sum\limits_{k=n}^\infty b_k$, то $b_k$ определится однозначно.

[nnosipov]

А, ну да, действительно.