Неравенство с интегралом

[KappaGolden]

Доказать неравенство: $\ln2 < \int\limits_{0}^{\frac{3}{4}}\frac{2^xdx}{\sqrt{1 + x^2}} < \frac{1}{\ln2}$

Я решал так: $1 < 2^x< 2^\frac{3}{4} $

$\frac{1}{\sqrt{1 + x^2}} < \frac{2^x}{\sqrt{1 + x^2}} < \frac{2^\frac{3}{4}}{\sqrt{1 + x^2}}$

$\ln \left(\frac{4}{3} + \sqrt{1 + (\frac{4}{3})^2}\right) < \int\limits_{0}^{\frac{3}{4}}\frac{2^xdx}{\sqrt{1 + x^2}} < 2^\frac{3}{4} \ln \left(\frac{4}{3} + \sqrt{1 + (\frac{4}{3})^2}\right)$

$\ln3 < \int\limits_{0}^{\frac{3}{4}}\frac{2^xdx}{\sqrt{1 + x^2}} < 2^\frac{3}{4}\ln3$

Но необходимое ограничение не появляется. Что делать?

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);


Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[thething]

Для получения оценки снизу используйте неравенство $2^x\geq1$, только считайте интеграл аккуратно. А для получения оценки сверху используйте неравенство $\sqrt{1+x^2}\geq1$.

[kotenok gav]

KappaGolden в сообщении #1447785 писал(а):

$\ln \left(\frac{4}{3} + \sqrt{1 + (\frac{4}{3})^2}\right) < \int\limits_{0}^{\frac{3}{4}}\frac{2^xdx}{\sqrt{1 + x^2}} < 2^\frac{3}{4} \ln \left(\frac{4}{3} + \sqrt{1 + (\frac{4}{3})^2}\right)$

У вас $\frac34$ в $\frac43$ превратилось.

[KappaGolden]

thething в сообщении #1447798 писал(а):

Для получения оценки снизу используйте неравенство $2^x\geq1$, только считайте интеграл аккуратно. А для получения оценки сверху используйте неравенство $\sqrt{1+x^2}\geq1$.

Спасибо, я разобрался!